Partie libre, génératrice de Z^n
Bonjour tout le monde,
Me voilà attaquant un peu l'algèbre $\Z$-linéaire. J'ai réfléchi à une question et j'aurais voulu connaître vos avis sur ma "résolution" de celle-ci.
Soit $n$ un entier et $I$ un ensemble fini. Soit $(a_i)_{i \in I}$ une famille d'élément de $\Z^n$ indexée par $I$.
1. Si $(a_i)_{i \in I}$ est libre, alors $|I| \leqslant n$:
La base canonique de $\Z^n$ ayant $n$ éléments, toutes les familles libres ont au plus $n$ éléments puisqu'une base est une famille libre maximale.
2. Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$, alors $|I| \geqslant n$:
La base canonique étant une famille génératrice minimale, tout famille génératrice a au moins $n$ éléments.
3. Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$ et $|I| = n$, alors $(a_i)_{i \in I}$ est une base de $\Z^n$:
Contraposée: Si ce n'était pas une base, elle ne serait soit pas génératrice, soit pas libre (soit même les deux !) et dans les tous les cas, $|I| \neq n$.
Si vous avez des remarques, n'hésitez-pas ! Merci d'avance.
Me voilà attaquant un peu l'algèbre $\Z$-linéaire. J'ai réfléchi à une question et j'aurais voulu connaître vos avis sur ma "résolution" de celle-ci.
Soit $n$ un entier et $I$ un ensemble fini. Soit $(a_i)_{i \in I}$ une famille d'élément de $\Z^n$ indexée par $I$.
1. Si $(a_i)_{i \in I}$ est libre, alors $|I| \leqslant n$:
La base canonique de $\Z^n$ ayant $n$ éléments, toutes les familles libres ont au plus $n$ éléments puisqu'une base est une famille libre maximale.
2. Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$, alors $|I| \geqslant n$:
La base canonique étant une famille génératrice minimale, tout famille génératrice a au moins $n$ éléments.
3. Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$ et $|I| = n$, alors $(a_i)_{i \in I}$ est une base de $\Z^n$:
Contraposée: Si ce n'était pas une base, elle ne serait soit pas génératrice, soit pas libre (soit même les deux !) et dans les tous les cas, $|I| \neq n$.
Si vous avez des remarques, n'hésitez-pas ! Merci d'avance.
Réponses
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Salut kifton,
Que veut dire pour toi "famille libre minimale" ? -
"Famille libre minimale" ? euh rien. Mais "famille libre maximale" dans le sens où si l'on ajoute un élément, elle ne sera plus libre.
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Euh oui pardon Donc c'est maximal au sens de l'inclusion, on est d'accord. Pas au sens du cardinal...
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Hélas, 3 fois hélas!!!!
Ca ne marche pas comme ça. Il y a des argument non triviaux à donner. Cela ne marche pas comme pour les espaces vectoriels.
Il y a des exemples d'anneaux $A$ pour lesquels $A$ admette une $A$-base de cardinal $r\geq 1$ pour tout $r$!!!!
Ici, ça marche parce que $\mathbb{Z}$ est commutatif, mais les démos pour les espaces vectoriels ne se transposent pas car tu ne peux pas inverser un élément quelconque de $\mathbb{Z}$, contrairement au cas des corps.
Dans le même genre, il y a des familles libres que tu ne peux pas compléter en une base, même dans $\mathbb{Z}^2$.
Tu trouveras des détails dans mon poly "Les modules pour les nuls" (une petite recherche sur le forum te permettra de le retrouver. Je l'ai posté sous le nom de GreginUK) Méfie-toi, il y a pleeeeeein de coquilles, que je suis en train de corriger, mais bon, ça te donnera une idée des difficultés de l'algèbre linéaire sur un anneau. -
Bonjour,
Greg a déjà répondu, mais j'en rajoute.
Est-ce que quand tu dis "base", tu penses "base de Zn"? Est-ce que, quand tu parles de famille minimale ou de maximale, c'est pour la relation d'inclusion?
Alors :
"une base est une famille libre maximale."
Ben non : la famille réduite à l'élément 2 dans Z (n=1) est libre, maximale, pas une base de Z.
"La base canonique étant une famille génératrice minimale, tout famille génératrice a au moins n éléments." ??
La famille (2,3) d'éléments de Z (toujours n=1) est génératrice minimale, et a deux éléments. Ce n'est pas une base.
Si tu penses "base de Qn", ça va mieux.
Cordialement, -
Ok je vois ... je raisonne trop comme pour les $K$-espaces vectoriels ! N'ayant jamais fait d'algèbre $\Z$-linéaire, je m'accroche à ce que je connais ... d'où mes erreurs. En fait pour travailler, je dois considérer $\Z^n$ comme un sous-groupe additif du $\Q$-espace vectoriel $\Q^n$ et voir le lien entre $\Z$-base et $\Q$-base par exemple ?
-
Pour préciser tu peux montrer pour une famille de vecteurs de Zn :
libre dans Zn équivaut à libre dans Qn
génératrice de Zn entraîne génératrice de Qn (implication inverse fausse)
Avec ça, et tes réflexes habituels d'algèbre linéaire pour Qn, tu devrais t'en sortir. -
Ok Ga?,
En fait j'ai déjà montré:
1. $\Z$-libre dans $\Z^n$ équivaut à $\Z$-libre dans $\Q^n$ équivaut à $\Q$-libre dans $\Q^n$.
2. $\Z$-génératrice dans $\Z^n$ implique $\Q$-génératrice dans $\Q^n$.
Mais je n'arrive pas à montrer:
3. $\Z$ génératrice dans $\Z^n$ ET $|I| = n$ équivaut à $\Z$-base de $\Z^n$
Quand bien même ces trois affirmation en poche, je ne vois pas encore pourquoi $\Z$-libre dans $\Z^n$ implique $|I| \leqslant n$. Je vais y réfléchir... -
Oui, un peu de réflexion en utilisant méthodiquement 1) et 2) t'amènera au résultat, j'en suis sûr.
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Bonsoir,
Pour une démonstration du point 3.:
Une $\Z$-base de $\Z^n$ est par définition $\Z$-génératrice de $\Z^n$. Il reste donc à montrer que $|I|=n$. Cette base est là encore par définition $\Z$-libre dans $\Z^n$. Donc, d'après le point 1., elle est $\Q$-libre dans $\Q^n$ lequel est un $\Q$-espace vectoriel de dimension $n$ sur $\Q$. Par conséquent, une famille d'élément de $\Q^n$ ne peut être libre que si elle contient au plus $n$ éléments. Comme la famille $(a_i)_{i \in I}$ contient $|I|$ éléments, on a nécessairement $|I| \leqslant n$.
D'où le point 3.
Ca m'a l'air bon, non ?
A l'aide de ces trois points je dois ensuite démontrer les affirmations suivantes:
a) Si $(a_i)_{i \in I}$ est libre (j'imagine qu'il s'agit de $\Z$-libre ici), alors $|I| \leqslant n$:
J'utilise le point 1. qui nous dit que $(a_i)_{i \in I}$ est $\Q$-libre dans $\Q^n$. Ainsi, $|I| \leqslant n$.
b) Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$, alors $|I| \geqslant n$:
J'utilise le point 2. qui me permet alors de dire que $(a_i)_{i \in I}$ est $\Q$-génératrice dans $\Q^n$, donc que $|I| \geqslant n$.
c) Si $(a_i)_{i \in I}$ est une base (là aussi j'imagine qu'il s'agit de $\Z$-base), alors $|I|=n$:
Conséquence directe de a) et b).
d) Si $(a_i)_{i \in I}$ engendre $\Z^n$ (j'imagine $\Z$-génératrice) et $|I|=n$, alors $(a_i)_{i \in I}$ est une base ($\Z$-base !) de $\Z^n$:
D'après 2., $(a_i)_{i \in I}$ est $\Q$-génératrice dans $\Q^n$. De plus, $|I|=n$. Donc, $(a_i)_{i \in I}$ est nécessairement $\Q$-libre dans $\Q^n$. En appliquant a), j'en déduis que $(a_i)_{i \in I}$ est une $\Z$-base de $\Z^n$.
Ca vous paraît correct ?
En vous remerciant d'avance ! -
A vue de nez, tout est correct.
-
Ok, merci barbant raseur. Un peu plus loin, me voilà à nouveau bloqué depuis un petit moment:
Etant donné un morphisme $f: \Z^m \rightarrow \Z^n$ de groupes abéliens. Comment montrer qu'il existe une unique application $\Q$-linéaire $f_{\Q}: \Q^m \rightarrow \Q^n$ dont la restriction à $\Z^m$ est $f$ ?
J'ai gribouillé des petites choses mais rien de bien consistant je crois...
Quelqu'un pourrait-il me guider un peu ?
Merci à toutes et à tous ! -
Bah, une telle application $f_\Q$ vérifie nécessairement :
$f_\Q(\frac{p_1}{r},\ldots,\frac{p_m}{r})=\frac{1}{r}f(p_1,...,p_m)$.
Il s'agit essentiellement de vérifier que cette formule :
$\cdot$ définit bien une unique application de $\Q^m$ dans $\Q^n$
$\cdot$ et que cette application est linéaire
D'accord sur ça ? -
Oui, ça faisait partie de mes gribouilles (:P)
-
Et donc, c'est où que le problème se pose (si problème il y a) ?
- sur le fait qu'une telle application est bien définie (il faut essentiellement remarquer qu'un morphisme de groupe est Z-linéaire) ?
- sur le fait qu'une telle application est Q-linéaire ?
- sur le fait qu'une telle application est unique et que seule celle-ci convient ?
Ou bien as-tu tout résolu depuis ? -
Alors...
Soit $f: (\Z^m,+) \rightarrow (\Z^n,+)$ un morphisme de groupes abéliens. Je rappelle que je souhaite montre qu'il existe une unique application $f_{\Q}: (\Q^m,+,.) \rightarrow (\Q^n,+,.)$ $\Q$-linéaire dont la restriction à $\Z^m$ est $f$.
Je pense procéder par analyse-synthèse en me disant que si elle existe elle doit vérifier:
$f_{\Q} (\frac{p_1}{q_1},\ldots,\frac{p_m}{q_m}) = \frac{1}{q} f(p_1,\ldots,p_m)$
où $q$ est le produit des $q_i$.
1. $f_{\Q}$ est bien définie puisque $\frac{1}{q} f(p_1,\ldots,p_m) \in \Q^n$.
2. $f_{\Q}$ est $\Q$-linéaire car:
$\frac{s}{t} f_{\Q} (\frac{p_1}{q_1},\ldots,\frac{p_m}{q_m})= \frac{s}{qt} f(p_1,\ldots,p_m) = f_{\Q} (\frac{sp_1}{qt},\ldots,\frac{sp_m}{qt})$ d'après la $\Z$-linéarité de $f$ et la définition de $f_{\Q}$.
3. $f_{\Q}$ a naturellement $f$ pour restriction à $\Z^m$ (par construction).
4. Cependant, pourquoi $f_{\Q}$ existe ?
Là, j'ai simplement (enfin j'espère) montrer que si $f_{\Q}$ existait elle vérifiait ça.
J'ai peur de m'y perdre un peu là ...:S -
\begin{quote}
{\bf kifton :} si elle existe elle doit vérifier: $f_{\mathbb{Q}} (\frac{p_1}{q_1},\ldots,\frac{p_m}{q_m}) = \frac{1}{q} f(p_1,\ldots,p_m)$
\end{quote}
Bah non, si elle existe elle doit vérifier $f_{\mathbb{Q}} (\frac{p_1}{q_1},\ldots,\frac{p_m}{q_m}) = \frac{1}{q} f(p_1',\ldots,p_m')$ avec $p_i'=p_i.q_1\ldots q_{i-1}q_{i+1}\ldots q_m$. Là tu fais comme si tu voulais une application $m$-linéaire au lieu de linéaire.
Dans un cas comme dans l'autre, la question qui se pose c'est : si je change le choix de mes représentants pour les $\frac{p_i}{q_i}$, est-ce que je trouve bien la même chose ? Si oui, la formule en question définit bien une application. C'est cela que j'appelle "$f_Q$ est bien définie", donc ton argument en 1 ne me satisfait pas.
En 2, tu fais comme si $f$ était $m$-($\Z$-)linéaire. Il te reste à adapter pour $f$ ($\Z$-)linéaire avec la bonne définition de $f_\Q$.
3 est un peu court mais c'est l'idée.
Peut-être que tu pourrais traiter le cas $m=n=1$ pour commencer ? -
Oui ! Autant pour moi ! C'est une erreur d'inattention pour les $p'_i$ qui a eu de mauvaises conséquences. Merci ! Je vais revoir ça.
-
1. Pour la bonne définition:
$f_{\Q} (\frac{p_1}{q_1}, \ldots, \frac{p_m}{q_m} = \frac{1}{q} f_{\Q} (p'_1,\ldots,p'_m) = \frac{1}{q} f (p'_1,\ldots,p'_m)$
Supposons que pour tous les $i \in \{1,\ldots,m\}$, $\frac{p_i}{q_i} = \frac{r_i}{s_i}$. Appelons $k$ l'entier non nul permettant de passer à l'une écriture de la fraction à l'autre (on suppose ici par exemple que $r_i \leqslant p_i$ et $s_i \leqslant q_i$.
$f_{\Q} (\frac{r_1}{s_1}, \ldots, \frac{r_m}{s_m}) = \frac{1}{s} f(r'_1,\ldots,r'_m)$ où $s$ est le produit des $s_i$.
$\frac{k}{k} \times \frac{1}{s} f(r'_1,\ldots,r'_m) = \frac{1}{ks} f(kr'_1,\ldots,kr'_m) = \frac{1}{q} f(p'_1,\ldots,p'_m)$ car $f$ est $\Z$-linéaire.
D'où la bonne définition.
2. Linéarité:
$\frac{a}{b} f_{\Q} (\frac{p_1}{q_1}, \ldots, \frac{p_m}{q_m}) = \frac{a}{qb} f(p'_1,\ldots,p'_m) = \frac{1}{qb} f(1p'_1,\ldots,1p'_m) = \frac{a}{qb} f_{\Q}
(\frac{ap'_1}{qb},\ldots,\frac{ap'_m}{qb})$
3. Le fait qu'elle coïncide avec $f$ sur $\Z^m$ est dû à sa construction. En prenant les $q_i =1$, ça vient tout seul.
Serait-ce mieux ?
Merci. -
Bonjour Kifton
En ce qui concerne la "bonne définition" d'une application, rappelle-toi
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,462676,462974#msg-462974
Alain -
Oui Alain ! Au moment de lire le fil j'ai pensé instantanément à la remarque que tu m'avais faite... Je m'en suis mordu les doigts ! C'était trop tard
-
Re bonjour Kifton
Le principal est que tu t'en souviennes et que finalement cela devienne un réflexe
Alain -
Pas d'idées ? :-(
-
Pourquoi serait-il le même pour tout $i$ ?
-
Ha oui c'est vrai ça... $k$ peut changer ... Prenons le ppcm des $k$ et l'on montre que $A=C$, que $B=C$ donc $A=B$ avec $A$ la valeur de $f$ sur les $\frac{p_i}{q_i}$ et $B$ la valeur de $f$ sur les $\frac{r_i}{s_i}$. Long à écrire ...
-
Je vois bien en réfléchissant que l'image sera la même mais j'ai du mal à le formaliser avec des $k$ distincts ?
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance.
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