Convergence vers une distribution normale

mésons · August 2008

Soit $\{ X_k\}$ des nombre aléatoires dont la fonction de répartition est $F_k$.
On définit : $Z_n=-\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n(1+\log(1-F_k(X_k))$

Monter que si $n$ tend vers l'infini ${Z_n}$ converge en distribution vers une loi normale.

Je ne sais pas par quel bout prendre le problème ? Je pensais commencer par $\mathbb{E}(e^{iuZ_n})$ ...

Quelqu'un peut m'aider ?

aléa · August 2008

Il manque quelque chose dans l'énoncé.
Déjà, si tu prends des Bernoulli, la suite n'est pas bien définie.

Sedanais · September 2008

Bonjour

Je pense que Fk(Xk) suit la loi uniforme sur [0;1].
Avec un calcul rapide, on montre que lorsque U est la loi uniforme sur [0;1], 1+log(1-U) est centrée de variance égale à 1.
Il ne reste qu'à appliquer le TCL.

Lucas · September 2008

Non : comme l'a dit aléa, si on prend une Bernoulli, alors $F_k(X_k)$ ne prend que deux valeurs, donc ça ne peut pas être une uniforme.

Sedanais · September 2008

Ok

Je suis allé un peu vite en faisant $P\big(F_{k}(X_{k})\leq x\big)=P\big(X_{k}\leq F_{k}^{-1}(x)\big)=F_{k}\big(F_{k}^{-1}(x)\big)=x$... Evidemment c'est faux en général...

D'un autre côté, comme l'a fait remarquer alea, des v.a. non à densité peuvent poser problème. Peut-être manque-t-il une donnée dans l'énoncé initial.

[La case LaTeX.

AD]

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