La jordanisation a-t-elle un quelconque intérêt???

GreginGre · August 2008

Salut à tous,

hier, j'ai appris la Jordanisation...mieux vaut tard que jamais , me direz vous, mais vu que je dois l'enseigner à la rentrée. Bref, il m'est venu à l'esprit cette question irrévérencieuse s'il en est: la Jordanisation a-t-elle un quelconque intérêt??? je devrais ajouter: intérêt pratique...

Avant de poster, j'ai un peu réfléchi à la question bien sûr...

Montrer que deux endomorphismes/matrices sont semblables? bof. Il faut savoir trouver toutes les racines d'un polynôme pour amorcer la Jordanisation. Perso, si on me donne une matrice même $4\times 4$ au hasard, je ne sais pas faire.
Le calcul des invariants de similitudes est bien plus pratique, n'a pas besoin d'hypothèses sur les matrices, et on peut mettre trouver l'isomorphisme.

Calculer l'exponentielle de matrices? re-bof. Encore une fois, si on ne sait pas trouver les racines du polynôme...la simple décomposition de Dunford suffit, et on n'a pas besoin de connaitre les racines du polynôme (en utilisant un algo. du type Newton)

Alors, quoi??? pourquoi emm...les étudiants avec ça?

Je sens déjà que ce post va m'attirer les sarcasmes de nombre d'entre vous...
J'attends d'ailleurs l'intervention du/de la champion(ne) des sarcasmes et de l'humour à froid, j'ai nommé ev. C'est d'ailleurs le moment de dire:

ev, lève-toi! (j'avais trop envie de la placer depuis longtemps, celle là

)

Néanmoins, ceci est une vraie question. Il y a-t-il une vraie utilité spécifique à la décomposition de Jordan ????

Au plaisir de vous lire!

[La case... Bruno]

Guga · August 2008

Bonjour Greg,

tu peux lire un bon papier sur la jordanisation sur la page de Gregory Vial.

Bonne lecture.

Edit: Le voici: \lien{http://www.math.bretagne.ens-cachan.fr/people/gregory.vial/cpt.php?path=files/cplts/jordan.pdf}

[Activation du lien.

AD]

GreginGre · August 2008

Je connais ce papier..mais je ne suis pas convaincu. Pour calculer la solution d'une équation récurrente linéaire à coeff.constants, il suffit de savoir calculer les puissances d'une matrice. Pour cela, il suffit d'utiliser Dunford.

Mais bon, je ne demande qu'à être convaincu...(:P)

ev · August 2008

Pas de chance Greg,

Je vais au paddock...

Ne compte pas sur mézigue pour arbitrer: J'ai toujours cru que la décomposition de Dunford débouchait sur la forme de Jordan c'est te dire ! Je vais suivre le débat du haut des tribunes.

Salutations,

e.v.

waf · August 2008

bonjour

je me dis que ca doit être plus facile de faire une décomposition de Jordan
pour trouver des diviseurs élémentaires et des idéaux de Fitting(mais cela reste à prouver en terme de complexité moyenne)par contre pour expliciter le commutant d'une matrice a partir de sa forme de Jordan ne nécéssite le calcul explicite des valeurs propres donc je pense que dans ce cas je pense qu'il y a un intérêt à utiliser la décomposition de Jordan plutôt que celle de Dunford.

Bien à vous.

Ga? · August 2008

Bonjour Greg,

Je suis un peu perplexe quand tu affirmes que la simple décomposition de Dunford permet de calculer les puissances ou l'exponentielle d'une matrice. Si par exemple A est une matrice diagonalisable, sa décomposition de Dunford est A = A+0. En quoi la connaissance de cette merveilleuse décomposition t'avance pour calculer l'exponentielle de A ?

Cordialement,

Ga?

nicolas.patrois · August 2008

Je pense qu'elle a au moins un intérêt théorique : on peut retrouver la décomposition de Frobenius d'une matrice à partir de sa décomposition de Jordan, et vice-versa.

GreginGre · August 2008

Exact Ga?, je suis allé trop vite...Le terme $e^D$ n'est pas calculable si on ne connait pas les valeurs propres.

Lucas · August 2008

Je commence à comprendre vos objections, mais pourquoi n'enseigne-t-on pas la théorie des invariants de similitude à la place de Jordan.

J'en ai toujours mieux compris la preuve, et ça résoud plein de problèmes. Par contre je ne sais pas à quel point c'est calculable en pratique les invariants de similitudes.

Léon1 · August 2008

Pour faire avancer le schimlblick, je crois qu'il y a des choses intéressantes à ce sujet dans le livre Algèbre Linéaire de Rémi Goblot (ellipses 2005) qui se place à un niveau agreg pas juste L2, souvenir très vague à confirmer.

GreginGre · August 2008

Pour répondre à Lucas, les invariants de similitude se calculent de manière algorithmique, et sans avoir besoin de connaître les valeurs propres.

PS: il est d'usage de se tutoyer sur le forum..

nicolas.patrois · August 2008

Lucas a écrit:

Je commence à comprendre vos objections, mais pourquoi n'enseigne-t-on pas la théorie des invariants de similitude à la place de Jordan.

Peut-être parce que la théorie des invariants de similitude est profonde et qu'il faut déjà un peu de connaissances mathématiques pour la maîtriser.

Lucas · August 2008

> il est d'usage de se tutoyer sur le forum.

Non, en fait c'était pas très clair mais je parlais aux autres.

Nicolas, ok mais je trouve que Jordan c'est très difficile à utiliser finalement. Je me souviens que dans un rapport de jury d'agreg, on mettait en garde les candidats contre un mauvais énoncé de ce théorème qui traîne dans plein de bouquins.

J'ai l'impression d'avoir compris Jordan quand j'ai fait les invariants de similitude.

Yannguyen0 · August 2008

Bonjour Greg,

L'intérêt de la décomposition de Jordan est, à mon sens, dans la gestion des classes similitudes du cône nilpotent. Détaillons un peu.

Le groupe GL(n,C) opère par conjugaison sur (son algèbre de Lie) M(n,C). On a envie de classifier le sorbites, ou dit plus simplement les classes de similitude.
Et bien, la réduction de Jordan nous permet de gérer ce problème de façon très précise. Nous savons tout d'abord que deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. Il s'agit dès lors de comprendre comment gérer la diversité finie des calsses de similitude dans une même famille de matrices ayant le même polynôme caractéristiques. Le lemme des noyaux nous ramène essentiellement au cône nilpotent. Ce lemme des noyaux consiste essentiellement à étudier les idempotents de l'algèbre C[A] des polynômes en la matrice A.

Une fois arrivé dans le cône nilpotent, la réduction de Jordan nous dit que le nombre d'orbites est égal au nombre de partitions de l'entier n. Gérer la complexité de la situation revient à jouer de la combinatoire des tableaux de Young. C'est tout simpel, c'est tout beau et je l'ai enseigné au grand plaisir des étudiants en DEUG A à Paris 7.

J'espère vous avoir convaincu que la réduction de Jordan est quelque chose d'utile, en priorité pour répondre clairement et totalement à la classification des orbites de la représentation adjointe du groupe réductif GL(n,C) sur son algèbre de Lie.

Ceal dit, on peut tourner indéfiniment autour en refusant d'y toucher. Cela rappelle alors à mon sens ces "nouveaux grammairiens" qui vous expliquent que l'on peut très bien se passer du subjonctif.

Aimer la réduction de Jordan et la démocratiser est un devoir civique.

christophe c · August 2008

C'est tout simpel, c'est tout beau et je l'ai enseigné au grand plaisir des étudiants en DEUG A à Paris 7.

X:-(

En fait, les vilains collégiens et les méchants lycéens, consumment leur crise d'adolescence avt le bac, et arrivent tout frais et concentrés pour jubiler devant la jordanisation sur les bancs de jussieu (ou de la halle aux grains)... lol et vont savourer, lors de la petite pause du midi, un thon mayonnaise en y repensant, allongés au soleil

Pourquoi les gens sont-ils pessimistes, franchement?

christophe c · August 2008

Peut-être parce que la théorie des invariants de similitude est profonde et qu'il faut déjà un peu de connaissances mathématiques pour la maîtriser

C'est peut-être l'exception qui confirme la règle... Si jme gourre pas, c'est bien le théorème concernant les modules de type fini sur un anneau principal??

Si oui, ft qd même avouer qu'il n'y a pas de vraie justification à ne pas le faire en premier cycle (quitte à sacrifier un autre truc) puisque c'est important: le prétexte que c'est abstrait hum hum.. Tout est abstrait un EV c'est abstrait (après c'est sûr que l'obscession de vouloir trouver des exercices qui vont avec...)

nicolas.patrois · August 2008

Les décompositions de Jordan et de Frobenius sont identiques dans le cas de matrices nilpotentes.
L'énoncé du Gourdon n'est pas fautif, il oublie juste de signaler que la décomposition se fait en blocs de Jordan. Au lieu de ça, il écrit que la matrice semblable de Jordan est composée de 0 partout sauf de 1 et de 0 sur la surdiagonale, sans dire que les 1 et les 0 ne sont pas rangés n'importe comment.

Eric · August 2008

Un détail m'échappe ... C'est quoi un énoncé faux qui n'est pas fautif ?

nicolas.patrois · August 2008

L'énoncé du Gourdon n'est pas faux, il manque de précision et d'intérêt. Bon c'est normal, les décompositions de Jordan et de Frobenius sont un peu hors programme en prépa.

Yannguyen0 · August 2008

Le programme de l'agrégation 2009 a évacué la réduction de Jordan, car à mon sens le jury en avait assez de voir des candidats présenter cette réduction à travers l'énoncé évoqué plus haut : toute matrice nilpotente est semblable à une matrice ayant partout des zéros sauf peut-être sur sa surdiagonale...

C'est un vrai cadeau que l'on a sans doute fait à la réduction de Jordan, qu'ainsi l'on préserve pour qu'elle ne soit point profanée. Gare aux candidats qui s'aventureraient à évoquer la réduction de Jordan sans maîtriser les tableaux de Young. Mon sentiment personnel est qu'il vaudrait mieux aussi peut-être éviter de sortir de son chapeau des modules et cie.

Mon expérience comme auditeur de nombreuses planches d'oral est qu'avec des connaissances basiques bien maîtrisées, on est mieux servi par le jury... Que de candidats ai-je vu s'effondrer à la moindre petite question quand ils ont été skier sur des pistes marquées "noires".

Cela dit, pour revenir à la réduction de Jordan, je recommanderais personnellement que l'on retienne comme résultat remarquable le fait qu'il y a un nombre fini de classes de similitude complexes de polynôme caractéristique donné. C'est fou que ce résultat est remarquable. D'ailleurs, on pourrait rien qu'avec ce fait établir qu'une matrice nilpotente est forcément semblable à son double.

Éviter évidemment de sortir l'horreur : une matrice nilpotente de rang r est semblable à une matrice ayant r uns qui se suivent sur sa surdiagonale et des zéros partout ailleurs.

Ou encore, toute matrice nilpotente de rang r est semblable à une matrice ayant partout des zéros sauf sur sa surdiagonale de longueur r où elle n'y a que des 1.

Bonne soirée.

Lucas · August 2008

> Si jme gourre pas, c'est bien le théorème concernant les
> modules de type fini sur un anneau principal??

Ouais (enfin, évidemment, on peut en faire la preuve directement sans parler de modules).

Non seulement c'est joli mais c'est pas si compliqué comme preuve. Je pense que le monde ira un peu moins mal quand en prépa on fera les invariants de similitude puis Jordan comme application, et qu'on retirera des choses comme "les 244 façons de décomposer une fraction en éléments simples". C'est une cause juste, après on pourra s'attaquer à la faim dans le monde.

Yannguyen0 · August 2008

Voici un bon exo pour Greg : on se donne deux matrices ayant partout des zéros sauf sur leurs surdiagonales respectives. Donner une CNS pour que ces deux matrices soient semblables.

blue_matematics · August 2008

C'est domage quand meme la disparition de la réduction de Jordan, il sera désormais difficile de remplir la lecon sur les endomorphismes nilpotents.

Je trouvais ca assez joli la réduction de Jordan, avec les tableaux de Young

christophe c · August 2008

Oui, mais il y a une différence entre la fait qu'un truc soit joli et le fait de le mettre à tel ou tel programme...

Une fois tout traduit en tableaux de Young, le problème c'est que ça devient des maths appliqués (ou plus précisément, des applications d'un seul panel de théorèmes) et le sentiment de "puissance" à jongler avec des objets syntaxiques finis qui peut faire dire que c'est joli ne peut plus être une raison "en aval" (ie on fait faire aux gens plein de manipulations desdits objets) de tester la compréhension du truc qui l'a permis en amont

Si tu veux, c'est un peu comme si on mettait le calcul décimal prodige en programmes sous prétexte que le théorème (pas trivial) que tout nombre entier peut s'écrire de manière unique blabla est profond.

C'est un point important de la logique: il y a une séparation estrêmement robuste qui sépare les "atomes" d'un même énoncé en "occurences positives" et "occurences négatives"****

Prouver "A implique B" peut être peu important mais prouver A par contre très important et profond, mais justifier que B est important parce que A l'est c'est totalement autre chose.

Certainement que ce qui s'en va un peu "des programmes" est le côté "B" du théorème de Jordan, puisqu'il s'agit d'une balade dans "B" en supposant A, balade qui dispense probablement bcp de gens d'avoir une idée de la preuve de A...

**** Dans n'importe quel énoncé E que tu cherches à prouver, tu n'auras jamais à justifier ses occurences négatives, elles te seront toujours données quand tu tomberas dessus...

Pour le dire de manière caricaturale: "prouver" un énoncé de la forme A ----> B, c'est chercher une preuve de non A, (à B près) (ce qui pour le moins éloigne le cerveau des diverses justifications de A

nicolas.patrois · August 2008

blue_matematics, rien ne t'empêche d'en parler, sous le nom de décomposition de Frobenius (à une transposée près). En plus, c'est facile les tableaux de Young.

Yannguyen0 · August 2008

Une pièce de plus au dossier de l'accusée : "caractériser les matrices nilpotentes qui sont des carrées."

Où est le procureur Greg ?

Yannguyen0 · August 2008

Bonjour Christophe : je suis d'accord avec l'expert assermenté que vous êtes. Votre témoignage est pertinenet, mais il est un fait que l'on a tendence malgré tout à oublier, c'est que les démonstrations d ela réduction de Jordan sont et d'une nombreuses, et d'autres assez faciles. il en est même une, en symbiose véritable avec les tableaux de Young, qui est franchement très facile.

Bon dim...

J'ai vu au théâtre "lettre à mon juge". Le livre de Simenon est bien meilleur que ce qu'en fait l'acteur-metteur en scène...

Yannguyen0 · August 2008

d'une et de deux !!

christophe c · August 2008

-D oulala je suis tout sauf expert en jordanisation... (ni même en diagonalisation, très franchement, j'ai dû o gd max, diagonaliser 3 matrices ds ma vie et encore...)

Ce que je voulais dire c'est qu'une fois compris l'algorithme (ce qui n'est pas mon cas), il doit y avoir je pense bcp de gens (d'étudiants) qui se précipitent sur les tableaux de Young et oublient comment les reconnecter à ce à quoi ils servent dans ce contexte.

Je n'en conteste aucunement l'utilité, mais le fait que de la part de ces étudiants, cela peut être un bon prétexte pour oublier les preuves que ça marche

Pour faire un parallèle, je pense à tous ces enfants qui, pour additionner ou multiplier de tête posent l'opération en imagination et on constate une bonne corrélation entre cette façon de procéder et un divorce des maths ensuite de la part de ces mêmes enfants

Bon, bien évidemment, quand on en est rendu à étudier Jordan, on a surement déjà passé pas mal de caps

Pour continuer le parallèle, l'acquisition (plus précisément la prise de conscience) par le collégien de la distributivité énoncée sèchement (du fait qu'il la connaissait déjà avant de "l'apprendre") qui provient de ne pas poser l'opération en grande partie me fait penser au fait de garder ou non les preuves les plus "abstraites" en tête, même si on applique un résultat (ici le th sur la forme de Jordan, les invariants de similitude, etc):

par exemple, j'ai fouillé ya pas longtemps ds un vieux livre où j'ai été assez impressionné de voir l'éventail des corollaires du théorème qui dit que tout A-module de type fini est isomorphe à une somme directe (et de manière unique) de A/I_n, avec les I_n croissant, quand A est principal: ça donne un bon classement des groupes commutatifs de type fini, ca permet de caractriser les classes de similitude pour les matrices, ça permet AUSSI de prouver "proprement" comment sont faits TOUS les sous-groupes fermés de R^n (ce qui est assez spectaculaire car à froid, on concoit bien ce que c'est, mais au moment de LE prouver, on est bien démuni: par ex, meme Z-bases et R-bases)

Loin de moi l'idée de critiquer telle ou telle partie des maths, mais plutôt je souhaitais (comme toujours) réinsister sur le fait que les preuves devraient un jour être plus importantes dans le "présentoir" officiel des maths que leur conclusion les théorèmes.

Comment le dire autrement? J'ai l'impression que le label "théorème" est un peu trop souvent décerné à "l'arrivée" d'une conquête qui avait été longuement désirée avant: par exemple, dans ce fil est évoqué la classification des classes de similitude qui, si on se place du point de vue de quelqu'un comme moi (qui ne maitrise pas la conquête mais comprend la question) apparait un chantier "industriel". On a donc des énoncés-étapes qui "sanctionnent" cette victoire mais sont choisis parce que bien "visibles" en tant qu'énoncés (où on voit bien les km parcourus en quelques sorte), mais ils permettent bcp moins de repères me semble-t-il, pour apprcier et de donner du relief aux preuves qui y ont mené.

Par exemple, j'ai bien galéré pour passer (en pensée) du cas "anneau euclidien" où c'est "intuitif" au cas "anneau principal" où on voit pas comment faire un truc du genre "pivot de Gauss" sur les matrices... Et ces trucs sont "oubliés" une fois qu'on revient aux choses des programmes (le K[X]-module ---- anneau euclidien K[X]) et comme je l'ai dit dans le post plus haut, ça semble en grande partie lié au besoin d'avoir des "bases d'exercices".

C'est clair que le cas A-module (dans cette optique d'application) où les anneaux sont principaux mais pas euclidiens, les exos ne doivent pas courir les rues...

christophe c · August 2008

{\bf message à yannguyen} (dont je viens de me rappeler que ... lol)

Je ne sais pas si tu as suivi la discussion entre Bouzar et Alain Debreil (le modérateur) dans un autre (long) fil, je te recopie une définition de Bouzar:

{\it
Bonjour christophe

Voilà :

Considérons l'application $M$ définie de la manière suivante :
$$ M(i)= \begin{cases}
0 &\mathrm{si\ } i=1 \\
\left[\frac{(i-1)!+1}{i}-\left[\frac{(i-1)!}{i} \right]\right] &\mathrm{si\ } i \geq 2.
\end{cases} $$
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, $M(i)$ vaut $1$ si $i$ est un nombre premier et vaut $0$ si $i=1$ ou $i$ n'est pas un nombre premier.

Alors ma matrice carrée $B_{2n}$ de format $(2n-1)\times (2n-1)$ est définie de la manière suivante :
$a_{ij} = (2n-j+i)M(i)M(2n-j)$
}

christophe c · August 2008

Et apparemment, il suffirait que

B_{2n} ne soit pas nilpotente pour qu' il existe deux nombres premiers dont la somme est 2n

Yannguyen0 · August 2008

Cher Christophe, Bonjour

pour te rafraîchir la mémoire : la première ligne du tableau de Young de la matrice nlpotente A indique son indice de nilpotence, sa première colonne la dimension de son noyau, le nombre de cases du tableau sa taille...

exo : quel est le nombre de blocs de Jordan dans la réduite de A ?

exo : donner deux matrices ayant même polynôme caractéristique, même polynôme minimal, même rang, et toutes deux de traces non nulles...

exo : montrer que le bloc de Jordan plein J_n n'a pas de racine carrée, alors que la matrice J_n+J_n en a.

Prendrions-nous un café ensemble aujourd'hui ou demain aux monts d'O-vergne ?

christophe c · August 2008

Merci pour ces rappels (et pour les 3 exos), je viens d'y réfléchir quelques minutes, mais je m'aperçois que sans livre mes "certitudes" ne sont pas fixées, ni même ma mémoire de ce qui arrive concernant ces matrices...

Pour le café, avec plaisir, aujourd'hui! (à partir de demain ou après demain, je vais essayer de repartir 3-4 jours sur la côte d'azur, pour reconstruire un bronzage qui s'étiole depuis 10 jours)

Lucas · August 2008

Pour me reconnecter à la discussion, est-ce que vous avez des bonnes références ?
Parce que si je n'aime pas Jordan, c'est aussi parce que je ne l'ai jamais vu bien expliquée (la réduction, c'est pour ça que je mets "ée").

> il en est même une, en symbiose véritable avec les tableaux de Young, qui est franchement très facile.

On peut la trouver où celle-là ? Dans le dernier Mneimné ? Et par ailleurs, quel est ce livre dont tu parles Christophe :

> j'ai fouillé y a pas longtemps ds un vieux livre où j'ai été assez impressionné de voir l'éventail des corolaires

christophe c · August 2008

Le Malliavin "algèbre linéaire et géométrie classique"

Et oui, je pense que la preuve dont parle Yann est dans "réduction des endomorphismes"

Lucas · August 2008

Ok, merci pour la référence.

rabbiAB · August 2008

Consacrer plus de trois pages à toute la réduction est impie. Alors des livres entiers sur ça !

Sylvain · August 2008

Greg : quelle idée aussi de vouloir jouer les algébristes en goguette ! Franchement tu ferais de la physique ou de la théorie analytique des nombres comme tout le monde, tu n'aurais pas à t'emmerder avec la Jordanisation. Seulement voilà, il faut toujours que tu te distingues...:D

Mauricio4 · August 2008

Greg: l'intérêt principal de la forme de Jordan n'est-il pas tout simplement de dire: "toute application lineaire se ramène à la forme suivante etc". Il ne s'agit pas de démontrer quelque chose avec, mais d'un résultat en soi, semblable a un théorème de classification (algèbre de Lie simples, groupes abéliens...).
Pour le côté pratique, ça te permet, par exemple, de décrire explicitement beaucoup de choses (qui n'intéresse presque plus personne?), par exemple la transversale a l'action adjointe en un point (je l'ai fait a l'oral agreg, ça n'a pas été très apprécié par le jury).
J'ai l'air d'être le seul, mais je considère ce résultat en lui-même et pas ses corollaires, comme l'un des plus importants et des plus surprenants des premières années d'Université. Peut-être qu'en mathématiques, tout est question de goût et pas d'utilité...
A+,
M.

milcivic · September 2008

"toute application lineaire se ramène à la forme suivante etc"

Bonjour Mauricio, juste un mot pour vous proposer de remplacer "toute application linéaire.." par "tout endomorphisme...", car nos matrices sont carrées.

GreginGre · September 2008

Le procureur Greg est là et s'excuse de son manque de réaction, mais il était exilé pour cause de conférence sur une île pluvieuse pendant 8 jours alors qu'il faisait beau en France.

Yannguyen0 · September 2008

Greg, je suis curieux de savoir si mes arguments ont été convaincants !!

bonne semaine à tous

GreginGre · September 2008

mmmh, pour être entièrement convaincu, il faudrait que je résolve les exos en utilisant Jordan, et aussi en utilisant Frobenius (si c'est possible) et comparer les deux.

Pas trop le temps d'y réfléchir pour l'instant, mais je jetterai un coup d'oeil, promis!

ert · September 2008

et la surjectivité de l'exponentielle matricielle greg?

Ga? · September 2008

ert a écrit:

et la surjectivité de l'exponentielle matricielle greg?

Bof, celle-là elle se fait très bien (même mieux je dirais) sans Jordan.

******************
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?

nicolas.patrois · September 2008

Sinon, tu leur annonces franchement que ça ne sert à pas grand-chose, à part à faire du calcul matriciel.

Peut-être qu'Objectif agreg de Beck et alii explique à quoi ça sert.

La jordanisation a-t-elle un quelconque intérêt???

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Bonjour!

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