Lois normales

Je viens de rencontrer ce résultat aujourd'hui, et voici l'idée de la preuve qui était présentée :

Les polynômes d'Hermite $H_n$ sont en effet très pratiques ici :
$$ \int_{\mathbb{R}} H_n(x) H_m(x) \frac{\exp\big(-\frac{x^2}{2}\big)}{\sqrt{2 \pi}} = n!\, \delta(m,n)$$
où $\delta$ est le symbole de Kronecker. En d'autres termes, les polynômes d'Hermite sont orthogonaux pour le bon produit scalaire (celui que les probabilistes aiment bien...)

On suppose que $E\big(f(X)\big)=E\big(g(Y)\big)=0$, ce qui ne change rien car on considère des corrélations. Après quelques calculs (hic !) on montre que :
$$ f(x) = \sum_1^{\infty} a_k H_k(x),\quad g(x) = \sum_1^{\infty} b_k H_k(x)$$ (ie: $a_0=b_0=0$)
et
$E\big(H_m(X) H_n(Y)\big) = \rho^n n! \delta(m,n)$

Une fois fait ces longs calculs, c'est presque fini car : $\displaystyle \mathrm{cov}\big(f(X), g(Y)\big) = \sum_1^{\infty} a_k b_k \rho^k k!$
et donc par Cauchy-Schwarz :
$$ \rho\big(f(X), g(Y)\big) = |\rho| \frac{|\sum_1^{\infty} a_k b_k \rho^{k-1} k! |}{ \sqrt{|\sum_1^{\infty} a_k^2 k!| |\sum_1^{\infty} b_k^2 k!|} } \leq |\rho|$$

il y a une preuve dans:
"One thousands exercices in probability" par Grimmet. Je peux essayer de t'envoyer le bouquin sur ton mail si ca t'interesses, mais c'est un peu gros: 7Mb