borélien

Bonjour


L'ensemble des Boréliens de R est équipotent à R,donc..

Cordialement

Il existe des parties de $\R$ qui ne sont pas boréliennes.

Si on prend la tribu de Lebegue (qui est la tribu boréliennes complétée par les parties négligeables pour la mesure de Lebesgue) là encore on peut trouver des parties de $\R$ qui n'appartienent pas à cette tribu pourtant beaucoup plus grosse que la tribu borélienne et donc la tribu de Lebesgue est également différente de l'ensemble des parties de $\R$.
En fait on ne peut pas construire de mesure (non triviale) sur l'ensemble des
parties de $\R$. C'est pourquoi on a construit ces tribus là.

Intéressant non ?

En fait, ce n'est pas très dur: on prend $E\subset [0,1]$ avec un et un seul représentant de chaque classe d'équivalence de $\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$.
(axiome du choix inside)
Si $E$ était mesurable, pour tout $x\in\mathbb{Q}\cap [-1,1]$ $E+x$ le serait, et aurait même mesure que $E$. Posons $F=E+(\mathbb{Q}\cap [-1,1])$. Une réunion dénombrable disjointe d'éléments mesurables de même mesure est mesurable, et sa mesure ne peut être que $0$ ou $\infty$,
ce qui est impossible car on peut montrer que $F$ contient $[0,1]$ et est inclue dans $[-1,2]$.