fonction convexe

guadoc · May 2008

Bonjour.
J'ai une fonction de de $ \mathbb{R}^n$ dans $\R^+$ convexe définie sur la boule unité fermée.
J'aimerais montrer que que sa restriction sur la sphère unité admet un unique minima local (donc global sur la sphère). Je sais déjà qu'il en existe un par compacité de ma sphère.
Pouvez-vous me donner une démonstration possible ou des directions dans lesquelles je pourrais orienter ma réflexion dans le but montrer la véracité ou non de ma proposition ??
Merci d'avance.

[La case LaTeX et correction selon ton indication.

AD]

Remarque0 · May 2008

Même avec $f$ strictement convexe, il peut y en avoir plusieurs. Je ne vois pas trop quel résultat général tu peux espérer dans cette direction.

Gecko · May 2008

Bonsoir,
en fait... dans ton message tu parles de minima,
et tu voudrais que ce minimum soit atteint sur le bord de ta boule,
en fait avec des fonctions convexes si il y a un extremum sur le bord c'est la plupart du temps en maximum.
on se restreint à R
on prend la fonction x->x²
le minimum est en 0 et pas sur le bord. (il est est même dans l'intérieur de la boule) et les maxima sont atteint aux bords et il y en a plusieurs.

on se donne maintenant x->exp(x)
le minimum sur [-1,1] est en -1 là il est au bord...
le maximum est sur le bord en 1

si tu veux montrer que pour une fonction convexe définie sur la boule admet un minimum unique tu dois au préalable montrer que ce minimum n'est pas à l'intérieur de ta boule.

Remarque0 · May 2008

Je ne suis pas sûr que ce soit la question posée par guadoc. J'avais plutôt compris le dessin suivant : une fonction strictement convexe qui admet plusieurs minima sur la sphère

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guadoc · May 2008

Merci Remarque pour ton contre exemple qui montre bien que ma proposition est fausse.

fonction convexe

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