convexe

guadoc
guadoc
dans Analyse
La fonction X-> 1/ \\X\\ (un sur norme de x ) est elle convexe??Si oui comment le montrer?merci pour vos contributions.

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Sur quel convexe voudrais-tu montrer qu'elle est convexe ?
  • guadoc
    guadoc
    Si ça dépend de la norme on prendra la norme 2 (norme quadratique) (on est en dimension finie).
  • guadoc
    guadoc
    Ce serait sur la boule unité férmée
  • egoroff
    egoroff
    Elle n'est pas définie partout sur cette boule !
  • gb
    gb
    Petit problème : $x \mapsto \frac{1}{\Vert x \Vert}$ n'est pas définie sur la boule unité fermée.

    [EDIT Grillé, et par egoroff en plus...]
  • Lucas
    Lucas
    Tu as fait un dessin en dimension un ?
  • Gecko
    Gecko
    Sur la boule unité elle n'est pas convexe (parceque non majorée sur un voisinage de 0).
    L'exemple de 1/|x| sur ]0,+ou-inf[ montre de la convexité, et qu'il faut exclure l'origine.
  • guadoc
    guadoc
    En réalité je ne me suis pas soucié de la définition car ma véritable fonction est X-> 1/ \\X-Y\\ ou Y est un point fixe de la sphere unité différent de X qui est aussi sur la sphere unité.
  • egoroff
    egoroff
    :S

    Je pense que tu n'as pas suffisamment réfléchi à la tête de ta fonction. La suggestion de Gecko est de bon sens. Essaye de faire un dessin en dimension 2 aussi.
  • egoroff
    egoroff
    Bon, il n'est pas aussi beau que ceux du seigneur remarque, mais voilà un graphe de la fonction $||x-a||^{-1}$ sur le disque unité, où $a$ est un point du cercle unité.
    9068
  • gb
    gb
    guadoc a écrit:
    ma véritable fonction est X-> 1/ \\X-Y\\ ou Y est un point fixe de la sphere unité différent de X qui est aussi sur la sphere unité.

    Comment définis-tu la convexité d'une fonction définie sur la sphère unité qui n'est pas un convexe ?
  • guadoc
    guadoc
    Je veux juste savoir si la fonction est convexe sur la boule unité
    fermé moins l'élément Y.Mais aparament ce n'est pas le cas.merci
  • Aleg
    Aleg
    Guadoc,
    il semble qu'il y ait un point que tu n'as pas compris, sur lequel Egoroff et gb ont essayé de t'alerter : la notion de fonction convexe n'a de sens que si cette fonction est au préalable définie sur une partie convexe d'un espace vectoriel.
  • guadoc
    guadoc
    Ben d'aprés moi une boule était convexe et l'absence d'un de ses points extrèmals ne changeait pas grand chose sur la fonction.
  • bisam
    bisam
    La boule unité fermée privée d'un point de la sphère unité est bien convexe lorsque la norme est euclidienne (en fait, c'est vrai pour toute norme strictement convexe).

    On peut donc envisager la convexité de la fonction $x\mapsto\frac{1}{\|x-y\|}$.

    Je pense qu'on doit pouvoir le prouver en dérivant, mais je ne suis pas doué avec les différentielles...
  • Remarque0
    Remarque0
    Cette fonction n'est manifestement pas convexe, où que l'on prenne $y$ et où qu'on la définisse. Son graphe est une surface de révolution à courbure négative. Quand on la restreint à un disque, ça donne une espèce de chausse-pied,

    9070
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