Groupe alterné A5

ryo
ryo
dans Algèbre
Bonsoir, j'ai une petite question sur le groupe alterné $\frak A_5$

$\frak A_5$ agit sur lui-même par conjugaison, on sait par exemple que tous les 3-cycles sont conjugués, tout comme les éléments d'ordre 2.

Par contre les 5-cycles ne sont pas tous conjugués (il y en a $24$ et si c'était le cas, on aurait $24\mid 60$), je voudrais donc savoir combien d'orbites forment ces 5-cycles ?

J'ai cherché un peu et je pense qu'il y en a 2 : en effet si $a=(a_1,\ldots,a_5)$ et $b=(b_1,\ldots,b_5)$ sont deux 5-cycles, alors $b$ est conjugué à $a$ ou à $a^2$, le problème étant que je ne vois pas pourquoi ça marche (je l'ai lu dans le Perrin, d'où l'affirmation)

En effet, cela revient à chercher $\sigma \in \frak A_5$ tel que $(\sigma(b_1),\ldots,\sigma(b_5)=(a_1,\ldots,a_5)$.

Si on était dans $\frak S_5$ il suffirait de prendre la permutation $\sigma$ qui envoie $b_i$ sur $a_i$.
Mais si cette permutation est impaire, elle ne convient plus à mon problème et dans ce cas, on devrait alors trouver $\sigma \in \frak A_5$ tel que $(\sigma(b_1),\ldots,\sigma(b_5)=(a_1,a_3,a_5,a_2,a_2)$ et je ne vois pas pourquoi celle-ci serait alors forcément paire.

Voilà et je voudrais aussi savoir combien d'éléments a chaque orbite, il parait raisonnable qu'elles en aient le même nombre (dans le cas où j'ai raison et qu'il y en ait bien deux) mais en me disant que ces nombres (que je note $k_1$ et $k_2$) vérifient $k_1\mid 60,\ k_2\mid 60$ et $k_1+k_2=24$, je n'arrive pas à écarter le cas $k_1=4$ et $k_2=20$

Merci d'avance

Réponses

  • gb
    gb
    Tu as déterminé $\sigma$ dans $\mathfrak{S_5}$ tel que $b = \sigma^{-1}a\sigma$.

    Je définis alors $\sigma'$ dans $\mathfrak{S_5}$ par $(\sigma'(a_1),\sigma'(a_2),\sigma'(a_3),\sigma'(a_4),\sigma'(a_5)) = (a_2,a_4,a_1,a_3,a_5)$.
    Si je ne me suis pas trompé, on a $a = \sigma'^{-1}a^2\sigma'$, et $\sigma'$ n'appartient pas à $\mathfrak{A}_5$.
    Finalement :
    – si $\sigma \in \mathfrak{A_5}$, $b = \sigma^{-1}a\sigma$ montre que $a$ et $b$ sont conjugués dans $\mathfrak{A}_5$ ;
    si $\sigma \notin \mathfrak{A_5}$, alors $\sigma'\sigma \in \mathfrak{A_5}$, $b = (\sigma'\sigma)^{-1}a^2(\sigma'\sigma)$ montre que $a^2$ et $b$ sont conjugués dans $\mathfrak{A}_5$.
  • AD
    AD
    Bonsoir ryo

    Pour compléter ce qu'a dit GB, n'oublie pas que d'après Sylow, tu as six 5-sous-groupes de Sylow conjugués. Cela veut dire que l'orbite d'un 5-cycle contient au moins 6 éléments, ce qui élimine le cas $k_2=4$.

    Alain
  • ryo
    ryo
    Et bien merci à tous les deux pour ces réponses claires et rapides. Que dire de plus ? (:P)
  • -Omar-
    -Omar-
    Bonjour,

    Une autre façon de voir tout cela.

    Les 5-cycles, au nombre de $4!=24$, sont tous conjugués dans $\mathfrak{S}_5$.
    Si $\sigma$ est un 5--cycle, sont centralisateur est donc d'indice 24
    dans $\mathfrak{S}_5$, soit d'ordre $5$. Il s'ensuit que c'est le sous-groupe
    cyclique $<\sigma>$, qui est donc aussi le centralisateur de $\sigma$
    dans $\mathfrak{A}_5$. Le nombre de conjugués de $\sigma$ dans $\mathfrak{A}_5$
    est ainsi $60/5=12$. Cela signifie que les 5--cycles forments deux classes
    de conjugaison dans $\mathfrak{A}_5$ de cardinal 12.

    Amicalement
    Omar
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    De toute facon, il n'est pas dur de voir qu'une classe de conjugaison de Sn se decompose au plus en deux classes de conjugaison de An. C'est une seule classe de cojugaison si un element de cette classe commute avec au moins une permutation impaire et c'est deux classes dans le cas contraire. Le cas ou elle se decompose en deux est lorsque la classe se compose de cyles tous de longueurs impaires et deux a deux differentes (en comptant le(s) point(s) fixe(s) comme 1-cycle).
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