topologie quotient

Salut,

Une relation d'équivalence sur un ensemble $E$ est en particulier une relation binaire sur $E$, c'est-à-dire (la donnée d') une partie du $E \times E$. Pour toute partie $A$ de $E \times E$, tu peux considérer l'ensemble des relations d'équivalences sur $E$ contenant $A$, et leur intersection est encore une relation d'équivalence, la plus petite contenant $A$, et on l'appelle relation d'équivalence engendrée par $A$. Bref concrètement, on a des énoncés $R(x,y)$ qui sont vrais, et on en déduit la relation d'équivalence minimale $R'$ qui est impliquée par $R$. Donc il faut que soient vrais :
- les $R'(x,y)$ dès que $R(x,y)$ l'est, mais aussi
- les $R'(x,x)$ ;
- les $R'(y,x)$ dès que $R(x,y)$ l'est ;
- les $R'(x,z)$ dès que $R(x,y)$ et $R(y,z)$ le sont ;
etc.

C'est encore un peu nébuleux ? Sur un exemple, ça ira mieux. Je pars de la relation $R$ définie sur $\Z$ par $R(x,y) \Leftrightarrow y=x+2$. Son graphe est la "deuxième surdiagonale" $\{(x,x+2), \ x \in \Z\}$. Quel peut être la relation d'équivalence $R'$ engendrée par $R$ ? On doit avoir $R'(x,y)$ dès que $y=x+2$, mais aussi lorsque $x=y+2$ par symétrie, donc $y=x-2$. La réflexivité impose aussi $R'(x,y)$ pour $x=y$. Puisqu'on a $R'(x,x+2)$ et $R'(x+2,x+4)$, par transitivité on doit avoir $R'(x,x+4)$, et ainsi de suite. Peux-tu reconnaître la relation $R'$ ainsi définie sur $\Z$ ? (c'est un grand classique).

Plus subtil : si $E$ est un $\R$-espace vectoriel et si je définis $R$ sur $E$ par : $R(x,y) \Leftrightarrow \exists \lambda \in\, ]1,\sqrt{2}[ \, : x=\lambda y$, saurais-tu reconnaître la relation d'équivalence engendrée par $R$ ?

[Pour 1\$ de plus AD]
[Et merci à remarque pour la correction du LaTeX. AD]

Hello,

Il manque des mots dans ton message non ? En effet, le racine de 2 est un petit piège, il suffit de mettre n'importe quel nombre strictement positif différent de 1. Effectivement la relation R n'est pas réflexive, normal ce n'est pas une relation d'équivalence. La question est : décrire la relation d'équivalence engendrée par R (celle-ci est bien réflexive).

Attention Gecko, $R$ engendre bien une relation d'équivalence, avec une infinité de classes.

Non non on ne rajoute pas de points.. à vrai dire je n'ai pas compris à quoi tu faisais allusion. Ou plutôt si : je crois que tu cherches un relation d'équivalence plus petite que $R$, alors qu'il faut en chercher une plus grande.

Peut-être faut-il que tu relises l'exemple précédent avec $\Z$ ?

On en reparle demain, bonne nuit

Oui c'est ça ! Et en effet, ce sont les orbites sous l'action du groupe de homothéties strictement positives. D'ailleurs l'ensemble des homothéties de rapport compris entre $1$ et $\sqrt{2}$ engendre (ou génère si tu préfères ) ce groupe...

On peut inventer plein d'autres exemples. Disons que je considère la relation $R$ définie sur $\R$ par : $R(x,y)$ si et seulement s'il existe un nombre premier $p$ tel que $y=x+1/p^2$. Quelle est la relation d'équivalence engendrée par $R$ ?

Oui, tu as reconnu la relation de congruence modulo $\Q$, et ta démarche est la bonne. Avant de parler de mesurabilité de l'ensemble-quotient $\R/\Q$, il faudrait l'inclure dans un ensemble muni d'une tribu.. mais je pense que ce que tu as voulu dire c'est : si $V$ est une "transversale" de $\R/\Q$, c'est-à-dire un ensemble contenant un et seul représentant de chaque classe d'équivalence, alors $V$ est un sous-ensemble non mesurable de $\R$. Un tel $V$ s'appelle ensemble de Vitali et l'existence n'est garantie que par l'axiome du choix.

bojour egoroff

Je ne comprends pas trop ton exemple avec $y=x+2$. Comment trouves-tu la relation engendrée par la partie $\{(x;y)\mid y=x+2\}$ ?

Merci

k je vois
et la relation ce ne serait pas modulo2?