Surface du simplexe

Felix6
Felix6
dans Géométrie
Bonjour,

je sèche sur le problème suivant:

Comment calculer l'aire du simplexe d'ordre $n$ $(n-1?)$ définit par
$$\{x\in R_+^n : x_1+...+x_n=1\}$$
J'ai calculé le volume de $\{x\in R_+^n : x_1+...+x_n\leq x\}$, qui vaut $\frac{1}{n!}$, puis j'espérais innocemment dériver par x, mais c'est bien évidemment faux... J'ai ensuite dérivé par rapport à la distance de $0$ au simplexe, qui vaut $\frac{x}{\sqrt{n}}$, sauf erreur, mais c'est encore faux.

Comment fait-on habituellement? Peut être y a-t-il une manière non analytique de calculer?

Merci de vos réponses.

Félix

Réponses

  • aléa
    aléa
    Il me semble que si $V(x)$ est le volume des points $\{x_i\ge 0,\sum x_i\le x\}$,
    on a $V(1+h)-V(1))\sim h/\sqrt{n} A$, où $A$ est l'aire que tu cherches.
    $h/\sqrt{n}$ est la hauteur entre $\sum x_i=1$ et $\sum x_i=1+h$.
    Ta dérivation te donnerais donc l'aire à un facteur près.
  • Gecko
    Gecko
    Bonsoir,
    c'est une idée en l'air, mais peut être si j'ai bien compris le problème en utlisant quelque chose du genre base * hauteur *const(n) =volume.
    cont(2)=1/2, en dimension supérieur je ne sais pas qu'elle est la valeur de const(n) pour calculer le volume d'un cône connissant sa base et sa hauteur.
    la hauteur c'est la distance de l'origine à l'hyperplan x_1+....=1
    et le volume est connu.

    après réflexion const(n)=1/n
    la hauteur vaut alors 1/n^(1/2)

    je conjecture comme aire:1/n!*n*n^(1/2) donc: n^(1/2)/(n-1)!

    Mais je pense que c'est envisageable comme ça.
  • Felix6
    Felix6
    Merci beaucoup pour vos réponses !

    En effet, la surface cherchée est bien $\dfrac{\sqrt{n}}{(n-1)!}$ comme me le donnait mon dernier calcul et les vôtres, mais j'avais mal calculé l'aire en dimension 3, donc je pensais que c'était faux... Merci encore.

    Bon maintenant je vais voir si ça m'aide pour prouver qu'on peut effectuer un tirage aléatoire {\it uniforme} sur le simplexe de la manière suivante :
    On tire $n$ variables aléatoires $E_i$ exponentielles i.i.d., et l'on pose $X_i=\dfrac{E_i}{\sum E_i}$, et cela suffit à avoir $X$ v.a. uniforme.

    Je vais d'abord chercher un peu avant de poster sur le forum correspondant !

    [Corrigé selon ton indication. AD]
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