Recouvrir le plan par des angles
Bonjour à tous .
Deux problèmes ( sans doute classiques ) qui me tracassent !!!
1°) On se donne $n$ secteurs angulaires du plan dont la somme des mesures est inférieure à 360° . Pourquoi ne peut-on pas recouvrir le plan par ces secteurs ?
2°) On se donne $n$ secteurs angulaires saillants dont la somme des mesures est égale à 360° et $n$ points du plan . Peut-on disposer les secteurs angulaires avec leurs sommets en ces points de façon à ce qu'ils recouvrent tout le plan ?
Merci d'avance !
Domi
Deux problèmes ( sans doute classiques ) qui me tracassent !!!
1°) On se donne $n$ secteurs angulaires du plan dont la somme des mesures est inférieure à 360° . Pourquoi ne peut-on pas recouvrir le plan par ces secteurs ?
2°) On se donne $n$ secteurs angulaires saillants dont la somme des mesures est égale à 360° et $n$ points du plan . Peut-on disposer les secteurs angulaires avec leurs sommets en ces points de façon à ce qu'ils recouvrent tout le plan ?
Merci d'avance !
Domi
Réponses
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Bonjour à tous,
Imaginons n secteurs angulaires S1, S2, ... posés sur le plan, de sommets A1, A2, etc. Avec l'orientation classique, on peut considérer que chaque secteur possède une (demi) droite "de départ".
On considère S1 et S2 (voir figure). En déplaçant le sommet de A2 en A'2 (situé sur la droite de départ de S1), on optimise la surface recouverte.
Après optimisation totale (les secteurs S1, S2, ... recouvrent une surface optimale), chaque Ai se trouve sur le droite de départ de S(i-1), jusqu'à A1 se trouvant sur la droite de départ de Sn.
On observe alors que le polygone A1, A2, ... An n'est pas recouvert. Si les n secteurs recouvrent le plan tout entier, c'est donc que les Ai sont tous confondus.
Conséquence : la somme des angles n'est sûrement pas inférieure à 360 degrés, ce qui répond déjà à la question 1.
Bon, je n'ai pas trop de temps pour la question 2, je m'y mets un peu plus tard.
Aldo. -
Bonjour Aldo et merci pour ta réponse .
Une chose m'échappe , tu dis qu'en plaçant A'2 sur le premier côté de S1 on optimise la surface recouverte . C'est vrai sur ton dessin mais celà n'est vrai en général que si le premier côté de S1 traverse la zone bleue ( voir mon dessin ). -
Bonsoir!!
je tente quelque chose pour le 1)
je compactifie le plan avec z->z/(1+|z|) je regarde la somme des mesures angulaires sur mon cercle, avec la transformation tous les secteurs seront transformés en des secteurs pointés en 0, de plus par ma transformation l'angle des cônes sera conservé, et au final je dis que le plan ne pourra être que si tout le disque est recouvert c'est à dire que la somme des angles des cônes est supérieur à 360. -
Une autre idée pour le 1 : soient $D_n$ le disque de centre $O$ et de rayon $n \in \N^*$ et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\R^2$.
Pour tout secteur angulaire $S$ de sommet quelconque $M$ et de mesure $\alpha \in [0,2\pi]$, on a $$\lim_{n \to \infty} \frac{\lambda(S \cap D_n)}{\lambda(D_n)}=\frac{\alpha}{2\pi}$$. En effet, en notant $D'_n=D_n+v$ le translaté de $D_n$ centré au sommet de $S$, on a clairement $\dfrac{\lambda(S \cap D'_n)}{\lambda(D'_n)}=\dfrac{\alpha}{2\pi}$ pour tout $n$, et si $\Delta$ désigne la différence symétrique on a $(D_n \cap S) \, \Delta \, (D'_n \cap S) \subset D_n \, \Delta \, D'_n$ donc $|\lambda(D_n \cap S)-\lambda(D'_n \cap S)| \leq \lambda(D_n \, \Delta \, D'_n)$ ; or pour $n$ assez grand $D_n \, \Delta \, D'_n$ est sauf erreur inclus dans la couronne de centre $O+v/2$ et de rayons $n \pm ||v||/2$, d'aire $4 n \pi ||v||$, qui est négligeable devant $\lambda(D_n)$.
La conclusion vient facilement : si $S_1,...,S_n$ sont des secteurs angulaires d'angles $\alpha_1,....,\alpha_n$ dont la somme vaut $\sigma<2\pi$, et en notant $\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^n S_i$, on a $$\frac{\lambda(F \cap D_n)}{\lambda(B_n)} \leq \sum_{i=1}^n \frac{\lambda(S_i \cap D_n)}{\lambda(D_n)}$$ cette somme converge vers $\frac{\alpha}{2 \pi}$, donc il existe $n$ tel que $\lambda(F \cap D_n) < \lambda(D_n)$, donc il existe un point de $D_n$ non contenu dans $F$, et a fortiori $F \neq \R^2$. -
Bien joué egoroff.
N'eût-il pas été plus simple de dire que la trace d'un secteur angulaire sur la droite de l'infini est invariante par translation de son sommet ? -
Merci gb,
En effet, c'est plus élégant comme ça, mais avec un peu plus de prérequis je pense (il faut notamment expliquer ce qu'on entend par "la trace sur la droite de l'infini"). C'est un peu la version algébrique de la preuve de Gecko ? -
Disons que je le voyais comme une version projective de la preuve de Gecko, mais en même temps comme une version "mesure" sur la droite de l'infini considérée comme un cercle de rayon infini, ce qui revient à ton point de vue.
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Exact. Tiens d'ailleurs sur $P^1(\R)$ il y a une mesure naturelle, est-ce le cas en dimension supérieure ?
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$P^n(\mathbb{R})$ est le quotient de $S^{n+1}$ par identification des couples de points diamétralement opposés, on doit donc avoir une mesure "naturelle" à partir de la mesure surfacique sur la sphère.
Tu en sais bien plus que moi sur la question. -
> Domi : rien à redire à ton objection !
Bon, ça aura eu le mérite de faire remonter le sujet ...
Aldo -
Merci Gecko et egoroff pour leurs preuves et gb pour ces précisions . Reste le 2/ qui est sûrement plus délicat :S
Domi -
Une démonstration élémentaire du 1/ que j'espère sans erreur .
Je reprends les notations d'Aldo et je rapporte le plan à un repère orthonormé . Je suppose par l'absurde que le plan est recouvert par $n$ secteurs dont la somme des mesures ( en radians ) est inférieure à $2\pi$ . Les côtés 1 et 2 de chaque secteur forment des angles $a_i$ et $b_i$ avec l'axe des abscisses et on a $\displaystyle{\Sigma_{i=1}^n{|b_i-a_i|}<2\pi}$ . Les $[a_i;b_i]$ ne recouvrent pas $[0;2\pi[$ modulo $2\pi$ donc on peut choisir $a$ appartenant à aucun de ces intervalles . Considérons une demi-droite formant un angle $a$ avec l'axe des abscisses , cette demi-droite rencrontre chaque secteur en au plus un segment elle ne peut donc pas être recouverte par les secteurs .
Domi -
> Gecko : Peux-tu m'expliquer pourquoi "tous les secteurs seront transformés en des secteurs pointés en 0" ?
Merci.
Aldo -
OUi Aldo en fait la il y a une erreur, mais on peut quand même s'en sortir,
au lieu de prendre z->z(1+|z|) je prends z->z(M+|z|) avec M très grand de façon à ce que les points se retrouvent dans un voisinage de l'origine arbitrairement petit, de cette façon les angles sont quand même les mêmes à la fin à epsilon prés(la "démonstration" n'est pas tout à fait correcte , cependant le fait que le somme des angles est inférieur à 360 laisse suffisement de marge) sinon on peut le faire comme tu l'as fait, par translation on se ramène en 0 et ensuite par rotation on arrive à faire en sorte que les cônes ne s'intersectent que sur leur génératrices sauf les deux cônes extrèmes) mon idée à la base c'était un peu de regarder ce qui se passe à l'infini, ou alors , si je regarde le plan de très loin, c'est comme si que les cônes ont leur sommet commun, mais tout est fait bien je pense plus haut. -
>Domi : ça a l'air tout bon !
Aldo -
Nous voilà donc avec plusieurs preuves pour le 1/
Une idée pour le 2/ ?
Domi -
Bonjour,
-Deuxième question :
les remarques de Domi nous montrent que s'il y a une solution avec n secteurs Si (formés par les demi-droites ai et bi) "centrés" aux n points Ai dont la somme des angles vaut 2pi, il ne peut pas y avoir de "gaspillage" dans l'intervalle 0,2pi : aucun chevauchement des angles et aucun vide.
On peut donc ordonner les n points et les n secteurs de manière à avoir chaque ai parallèle à b(i-1) et chaque Ai appartenant au secteur S(i-1) (pour ne pas laisser vide l'espace entre les demi-droites ai et b(i-1)).
La réciproque est-elle vraie ? Si les n points et les n secteurs vérifient toutes ces propriétés, le plan est-il entièrement recouvert ?
Bon, passons à la disposition des secteurs.
On commence par réunir les n secteurs centrés au même point genre un camembert.
Puis, chacun "se place" en un des Ai de manière à ce qu'on ait aucun chevauchement des secteurs et au contraire de grandes artères non recouvertes.
De manière imagée, on pourrait choisir le centre du camembert "à l'intérieur" des points. Ensuite lorsque les portions de camembert "reculent", il ne peut pas y avoir de chevauchement.
Voir la figure pour n=3
Puis, tous les secteurs, demi-tour !
Autrement dit, chaque secteur est remplacé par son "opposé par le sommet".
Et le tour est joué ! Bon, je n'ai rien démontré, c'est bien ce qui m'embête, je continue à chercher une preuve.
Et puis une petite remontée du sujet peut pas faire de mal...
Aldo -
Bonjour Aldo .
Je suis un peu sur la même idée que toi : comment translater les parts d'un "camembert" centré en un point quelconque en amenant les sommets des angles sur les points donnés sans perdre le recouvrement .
Pour revenir à ton idée "en retournant à la fin" il faudrait prouver deux choses .
1°) Il existe un point et une distribution des parts centrée en ce point telle qu'à chaque part on puisse associé un Ai qui soit dans cette part et différent pour chaque part ( j'espère être clair ! ) .
2°) Si les Si sont toutes disjointes ( comme sur ton dessin ) alors leurs opposées recouvrent le plan .
Le deuxième point est sans doute plus simple mais je ne vois pas de preuve .
Domi -
Il me semble bien aussi que c'est le premier point qui pose problème.
Pour le second : Soit un point M du plan. Lorsque les secteurs sont centrés au même point (formation en camembert), ce point M est à l'intérier du secteur opposé par le sommet à l'un des Si. Après éloignement (c'est toute l'astuce) du secteur Si, son retournement provoquera le recouvrement de M.
Aldo -
D'accord pour le 2ème point
Domi -
Bon, cette fois, je pense que ça tient la route :
on oublie le camembert...
On numérote les secteurs de S1 à Sn et les points de A1 à An.
On place :
-Sn centré sur A1 avec A1 An bissectrice du secteur opposé par le sommet à Sn
-S1 centré sur A2 avec A2 A1 bissectrice du secteur opposé par le sommet à S1
Chaque Si centré sur A(i+1) avec A(i+1) Ai bissectrice etc......
Le fait d'avoir pris à chaque fois la bissectrice permet de conserver les propriétés sur les angles et la saturation de l'intervalle 0,2pi.
Il peut arriver que des secteurs se croisent ou non, ça n'a pas d'importance.
Ensuite, demi-tour et même démo pour expliquer que tout point M du plan est recouvert.
Aldo -
Encore désolé Aldo mais j'ai bien peur que ça ne marche toujours pas :?
Si on reprend l'idée de ma preuve du 1/ , s'il existe une direction de demi-droite qui n'est pas dans l'un des secteurs $S_i$ ( c'est vraiment pas clair ! ) alors toute demi-droite ayant cette direction n'est pas recouverte complètement par l'ensemble des secteurs $S_i$ . Si tes secteurs ramenés par translation en un même sommet ne recouvrent pas le plan ils ne le recouvriront pas non plus dans leur position initiale . Sur mon dessin on "voit une perte d'angle" qu'on ne peut pas compenser :-( -
Bonsoir
j'aime bien le camembert(centré en l'origine):
j'oublie un peu le problème pour le moment, et je regarde des opérations possibles sur les secteur de façon à préserver le recouvrement du plan:
_permutation des secteurs
_rotation globale du camembert prédécoupé
et en fin un dernier point, certaines translations:
je cherche à translater un secteur en particulier, et je prétends que toute translation du secteur considéré par un vecteur appartenant au symétrique du secteur en question conserve le recouvrement du plan: en effet par cette translation le secteur image contient le secteur de départ.
mais tout ça ne fonctionne que si le secteur considéré est convexe (angle inférieur à pi)
je ne sais pas si dans le cas ou la familles d'angles contient un secteur non convexe si il est possible d'avoir une disposition qui recouvre le plan.
Retour à la question 2) en supposant les secteurs convexes
pour recouvrir mon plan je dois
1 trouver un point de départ (peut-être l'isobarycentre???? ou un point à coté pas trop loin)
2 une permutation et une rotation qui place seulement un point de la famille dans le symétrique d'un secteur
et là je pense que c'est bon.
Question: la méthode est effective mais couvre t 'elle toutes les situations?
(hormis le cas le cas d'un secteur non convexe qui est douteux à mon avis) -
bonjour,
je ne suis pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé : les n secteurs dont la somme vaut 2 pi sont-ils égaux ou quelconques ? Parce que dans le second cas, je ne vois pas bien comment disposer un secteur de 358° et deux de 1° aux sommets d'un triangle équilatéral pour recouvrir le plan.
Ah, j'ai compris, par déf, ils sont convexes -
>GG je m'étais posé la même question
La méthode du camembert fonctionne (voir figure)
Après avoir tracé les portions, on centre chaque secteur sur le point rouge lui appartenant. Ensuite, demi-tour : chaque secteur est remplacé par son secteur "opposé par le sommet".
Mais bon, comment prouver qu'il est toujours possible de découper le camembert avec exactement un point rouge dans chaque part ?
Aldo -
excuse-moi Aldo, je suis flemmard. Pourrais-tu me montrer la figure finale ? Merci.
-
Aux incertitudes de dessin près ça donne ceci
Aldo -
oui, et qu'est-ce qui recouvre la région proche du sommet 358 ?!
-
En effet, ça ne va pas du tout !
Comme le disait Gecko, le cas d'un secteur non convexe est douteux...
Aldo -
Il semble en effet que le cas d'un secteur rentrant pose problème mais dans le texte que j'ai on dit simplement que la somme des angles est égale à 360° . Dans un premier temps on pourrait supposer que tous les secteurs sont saillants , la méthode des camemberts à l'air alors de marcher mais il faudrait le prouver .
Domi -
Un petit retour sur l'historique du problème .
Le sujet initial est un exercice d'olympiade ( voir pièce jointe ) dont les deux développements logiques ( vus sur un site sans solution ) sont :
1°) n lighthouses are arbitarily placed in the plane. Each has a stationary lamp which illuminates an angle of 360/n degrees. Prove that the lamps can be rotated so that at least one lamp is visible from every point of the plane.
2°) Suppose i-th lighthouse illuminates angle $a_i$ and $a_1+a_2+...+a_n=360$ . Prove that the lamps can be rotated so that at least one lamp is visible from every point of the plane.
Pour le deuxième développement il faut ajouter $0\leq a_i \leq 180°$ et j'ai remplacé le premier développement par un exercice d'échauffement
Domi
-
Bonjour,
il me semble bien que le point crucial c'est le 1er développement.
S'il est démontré, on devrait facilement passer au 2°) en imaginant une sorte de "petit secteur commun" tel que chacun des secteurs en soit un multiple.
Ensuite, avec certains des points Ai confondus, on exploite le résultat 1°) : lorsque qu'on fait tourner un secteur, tous les petits secteurs qui le composent tournent du même angle.
Aldo -
Bonjour,
M'inspirant du fichier joint par Domi, je propose :
- 1er développement
Choisir une direction nord. Sur le point le plus au nord, placer S1 dirigé vers le sud.
Faire tourner l'axe du nord d'un angle 360/n Sur le point le plus au nord des points restants, placer S2 dirigé vers le nouveau Sud.
etc.
Le même argument : les projecteurs "se faisant face", il n'y aura pas de bande non éclairée.
Aldo -
Sauf erreur , un contre-exemple avec cinq lampadaires , la zone noire n'est pas éclairée !
-
Bonjour Domi,
La solution du problème à 4 projecteurs est-elle vraiment complète ? La phrase en question est :
"Clearly the lamps cover all directions, the only possible problem is uncovered strips."
Mais, en imaginant le problème de ces bandes résolu, il reste la possibilité d'une zone de surface finie non couverte, comme ton dessin le montre.
Le fait de couvrir toutes les directions n'est donc pas suffisant...
Aldo -
En fait l'idée de la solution à quatre points est de tracer deux droites perpendiculaires avec un point dans chaque secteur droit , on peut alors envisager des glissements comme dans ta première idée ( en faisant attention quand les points sont alignés ) . Mais le problème n'est pas si simple avec cinq points ou plus même quand les angles sont égaux .
Domi -
Bonsoir,
en fait je ne suis pas sûr que la méthode proposée ci-dessus garantisse l'absence de bandes non éclairées.
Celle qui suit est bien plus rigoureuse.
La seule possibilité de formation d'une telle bande ne pouvant provenir que de secteurs consécutifs (sur le camemebert), voici la procédure :
- On peut toujours trouver deux points (projecteurs) tels que tous les autres soient situés du même côté de la droite qui joint ces deux points.
- On les appelle bien sûr (!) A1 et An et on définit la direction AnA1 comme étant le nord (N1).
- Et même un peu plus fort : on peut trouver ces points tels que les autres projecteurs soient à l'intérieur de l'angle AnA1d en appelant d la demi droite issue de A1 et faisant avec le Nord un angle de -360/n
- On place le secteur S1 (a1,b1) centré en A1 de telle manière que sa première demi-droite a1 soit dirigée vers le sud.
Grâce à cette procédure, nous avons la certitude que tous les projecteurs restants se trouvent dans le demi-plan Est délimité par le prolongement de a1. Ainsi quel que soit le prochain point que nous choisirons pour A2, le secteur S2 coupera S1 sans laisser de bande non recouverte. En effet, ceci ne se produit que lorsque A2 se trouve à l'ouest de a1, ce dont nous sommes prémunis par construction.
Il faut maintenant choisir A2 parmi les points restants.
Faisons d'abord tourner le nord de 360/n dans le sens inverse du sens trigo, ce qui donne N2 sur la figure. Et à présent, A2 sera le point le plus à l'ouest relativement au nouveau nord N2. On y placera le secteur S2 de façon à ce que sa première demi-droite a2 soit dirigée vers le nouveau sud, etc.
Et ainsi de suite, nous avons la certitude de n'avoir aucune bande non recouverte. En effet, lorsque nous arriverons au tour de Sn, il sera centré en An appartenant au secteur A1, il n'y aura donc toujours pas de bande non recouverte.
Mais voilà, qu'en est-il de la possibilité qu'une surface finie échappe à cet éclairage ?
Aldo -
Bonsoir,
Domi, je persiste à penser qu'il faut faire confiance à la remarque "Clearly the lamps cover all directions, the only possible problem is uncovered strips."
Reprenons la figure sur laquelle apparaît le triangle noir : en fait, c'est pire, il y a toute une bande noire ! (causée par A1 et A5)
Quitte à y revenir plus tard, notre premier souci consiste à éliminer les bandes non recouvertes.
De telles bandes ne peuvent apparaître qu'entre des secteurs consécutifs (voisins sur le camembert).
De proche en proche, la méthode indiquée dans mon post précédent élimine ce risque entre S1 et S2 puis entre S2 et S3, etc jusqu'à S(n-1) et Sn. Mais qui nous dit que tout se passera aussi bien entre Sn et S1 ?
Rien ! J'avais tenté de contourner l'obstacle en fixant un point An à l'avance mais nous n'avions aucune garantie que ce point serait bien le dernier. Notamment mon affirmation "lorsque nous arriverons au tour de Sn, il sera centré en An" est incorrecte.
L'astuce va consister à numéroter les points et à y placer les projecteurs mais sans donner leur direction qui ne sera précisée qu'au dernier moment !
En effet, l'absence de conflit entre secteurs successifs que permet la méthode venait du choix des points et absolument pas de l'orientation des secteurs.
Bien entendu, dès que nous prendrons une décision pour un secteur, les autres suivront en conséquence.
Ce qui donne :
- Les secteurs sont numérotés S1, S2, ... Sn dans le sens trigo sur le camembert.
- Choix d'une direction nord N1
- On appelle A1 le point le plus à l'ouest, on y centre le secteur S1 mais sans l'orienter !
- On fait tourner l'axe du nord de 360/n degrés dans le sens contraire du sens trigo, ce qui détermine le nouveau nord N2.
- On appelle A2 le projecteur le le plus à l'ouest selon le nouveau nord N2 et on y place le secteur S2 mais toujours pas orienté.
- On fait tourner le nord de 360/n degrés, ce qui détermine la direction N3 etc.
............
Et nous arrivons au dernier point An sur lequel est placé le secteur Sn toujours non orienté.
Le problèeme risque toujours de provenir de Sn et S1.
Nous allons nous en prémunir très simplement en braquant S1 sur An. Ainsi, pas de bande parallèle !
Bien entendu dès que S1 est orienté, les autres secteurs en font de même.
La transposition au cas général (angles autres que 360/n) ne semble pas poser de difficulté. Il reste à trouver un petit raisonnement pour montrer qu'il ne peut y avoir de surface finie non éclairée.
Aldo. -
Bonsoir Aldo ,
une toute petite réponse car à ma grande honte je n'ai pas eu beaucoup de temps ces jours-ci à consacrer à ce problème que j'ai pourtant lancé ( demain ça ira beaucoup mieux :)o) .
J'ai bien compris ton soucis d'éviter les bandes mais je ne suis pas sûr que ta nouvelle stratégie les évite dans les secteurs intermédiaires : choisir l'orientation à la fin risque bien de faire "passer à l'est" certains sommets .
J'ai aussi quelques idées mais je n'ai pas encore trouvé le temps de les approfondir . En tout cas chapeau pour ta persévérence (tu)
Domi -
Bonjour,
Tout d'abord, je signale une erreur dans mon dernier envoi :
"En effet, l'absence de conflit entre secteurs successifs que permet la méthode venait du choix des points et absolument pas de l'orientation des secteurs."
C'est faux, l'orientation des secteurs était importante. La méthode proposée ne fonctionne donc pas.
Aldo -
Nouvelle proposition !
Nous appelons ai et bi (dans l'ordre trigo) les demi-droites formant un secteur Si. Si désignera aussi bien la valeur de l'angle.
Nous allons à présent montrer un résultat intermédiaire :
Soit Ai le point le plus à l'ouest selon une direction nord Ni.
Soit Ai+1 le point le plus à l'ouest selon une direction nord Ni+1
Nous plaçons en Ai le secteur Si tel que ai soit dirigée à l'opposé d'une direction nord Ni.
Nous plaçons en Ai+1 le secteurs suivant Si et Si+1 de telle manière que ai soit parallèle à bi+1.
Dans cette configuration, Si et Si+1 recouvrent (éclairent) un ensemble de points Ei-i+1.
Résultat intermédiaire : il existe un point que nous appellerons Ai-i+1 tel que Ei-i+1 contienne l'ensemble des points qui seraient recouverts si les secteurs Si et Si+1 étaient translatés en Ai-i+1.
Autrement dit, "réunis" en ce point, les projecteurs éclairent une zone qui est incluse dans la zone précédemment éclairée.
Deux cas peuvent se produire qui détermineront quel est ce point.
Premier cas : Si éclaire Ai+1 ou alors Si+1 éclaire Ai. C'est à dire que l'un des secteurs éclaire le sommet de l'autre.
Dans ce cas le point Ai-i+1 sera simplement le point se trouvant à l'intérieur de l'autre secteur. Par exemple si Si éclaire Ai+1, le point Ai-i+1 sera simplement Ai+1.
Deuxième cas : aucun des secteurs n'éclaire le sommet de l'autre, le point Ai-i+1 sera l'intersection des demi-droites bi et ai+1.
Nous observons que l'angle (ai+1,bi) est justement égal à Si + Si+1. La zone éclairée par un projecteur placé en Ai-i+1 est bien incluse dans celle éclairée lorsque les projecteurs Si et Si+1 étaient en Ai et Ai+1.
A présent, la solution (dans le cas de n secteurs égaux à n/360 degrés) est la suivante :
Nous choisissons une direction nord N1. A1 sera le point le plus à l'ouest selon cette direction.
Nous y plaçons le secteur A1 de telle manière que a1 soit opposée à N1.
Puis le nord tourne de 360/n degrés vers la droite selon la direction N2. A2 sera le point le plus à l'ouest selon cette direction.
etc. jusqu'à placer An.
Démonstration :
les secteurs S1 et S2 éclairent plus qu'un secteur S12 (égal à S1+S2) en un point A12.
Nous pouvons continuer : il existe un point A123 tel que S12 et S3 réunis en ce point éclairent moins que lorsqu'ils étaient en A12 et A3. Et donc encore moins que lorsque S1 était en A1, S2 en A2 et S3 en A3.
De proche en proche, il existe un point S123...n tel que Tous les Si réunis en ce point éclairent moins que lorsque chaque Si était en Ai.
Or, tous les Si réunis en un seul point, c'est le "camembert" ! Et il éclaire tout le plan ! Donc l'ensemble des secteurs Si placés en Ai (qui éclaire encore plus !) recouvre tout le plan.
On pourra vérifier mais c'est assez simple que les bonnes conditions sont toujours réunies. Par exemple le fait que le point Ai-i+1 soit toujours bien placé (forcément entre Ai et Ai+1) selon la direction Ni, ce qui garantit que l'on pourra appliquer le résultat intermédiaire à l'étape suivante. Le fait de prendre le point le plus à l'ouest nous prémunit contre l'apparition d'une bande noire, etc.
Les figures jointes illustrent le résultat intermédiaire puis la résolution du cas n=5.
A présent, je vais m'attacher à transposer ce résultat au cas général, mais ça ne devrait pas poser de difficulté, le résultat intermédiaire devrait s'appliquer de la même façon...
Une petite remarque : dans le cas de 4 secteurs de 90 degrés, cette méthode ne correspond pas toujours à la solution jointe un peu plus haut par Domi.
Aldo -
Le cas général (les secteurs ne sont pas tous égaux à 360/n) se traite de la même manière en respectant ai parallèle à bi+1.
La direction Ni+1 sera donc obtenue en partant de Ni et en tournant d'un angle Si+1 dans le sens inverse du sens trigo.
La démonstration est alors identique.
Aldo -
Une dernière remarque :
nous avons utilisé la propriété suivante : un projecteur Si centré en Ai éclairera moins si nous le translatons en un point qu'il éclaire déjà.
Mais ceci n'est pas vrai pour un secteur rentrant (angle supérieur à 180 degrés), d'où la difficulté rencontrée dans ce cas.
Aldo -
>Aldo,
j'essaie de trouver un moment ce soir pour lire ta prose , sinon il faudra attendre demain soir
Domi -
En première lecture tout semble correct , malin le déplacement du camembert !!!
Domi
PS : n'importe quel camembert fourni une solution par simples translations (tu) -
Je sens que je vais me faire haïr une nouvelle fois mais il me semble bien qu'il y a une faille dans le raisonnement d'Aldo ::o
-
Bonsoir,
pas de souci, Domi, les ennuis causés par un secteur rentrant apparaissent : à force de réunir des secteurs, on finit par dépasser 180 degrés !
Bon, ce n'est pas encore ça ...
Aldo -
Un simple petit up pour dire que je n'ai pas lâché prise , j'ai même nettement progressé mais j'attends que tout soit un peu plus clair avant de donner mes idées : pour le moment c'est du chinois ( sans la flamme ! ) .
Domi -
Bonjour !
Je vous livre mes dernières idées , j'espère avoir su garder le nord avec toutes ces permutations . Comme je suis une quiche en Latex , je joins un PDF sans doute truffé de fautes !!!
-
Bonjour Domi,
joli boulot, je vais regarder ça à tête reposée.
Aldo.
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Bonjour!
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