intégration: CPGE; agreg interne, agreg externe

e=mc3 · March 2008

Bonjour

ca fait des années que je galère pour trouver une bonne fois pour toutes la liste exacte des théorèmes auxquels on a droit en calcul intégral selon que l'on est dans le cadre des CPGE, de l'agreg interne ou externe.
J'ai beau consulter les programmes dans les BO tout ce que j'y vois est assez vague. Et en plus il semble que de temps en temps se glissent souvent subrepticement des réformettes qui changent quelques détails d'énoncés de théorèmes (j'ai un sentiment similaire pour les séries de Fourier d'ailleurs).

J'ai de nouveau été contraint de me poser ces questions alors que je tentais de refaire le sujet de l'agreg externe 2007 (dans la première partie il y a une limite d'intégrale...)

Les théorèmes incriminés sont en deux grandes catégories selon que l'on travaille sur un intervalle compact ou non (ce qui revient à faire le distingo entre intégrales propres et impropres quoique dans le cadre de Lebesgue ca n'ait plus de sens ou d'importance) et concernent l'intégration de la limite d'une suite de fonction, la continuité et la dérivabilité d'intégrales dépendant d'un paramètre. J'en ai consulté des ouvrages tous se vantant à chaque fois d'être à la page par rapport aux programmes. Et bien vous pouvez me croire rien de définitivement "uniforme" entre ces ouvrages ressort:
-Et que je te mets comme hypothèse fonctions réglées
-Et que je te mets comme hypothèse fonctions continues,
-Et que je te mets comme hypothèse fonctions continues continues par morceaux
-Et que je te mets comme hypothèse fonctions Riemann intégrables
-Et que je te mets comme hypothèse fonctions Lebesgues intégrables
etc
convergence simple, uniforme, uniforme sur tout compact, dominée, monotone, semi convergence etc etc etc etc etc etc etc etc etc

récemment sur un fil concernant les errata du Gourdon un intervenant signalait qu'en CPGE la limite devait être continue...

Je trouve personnellement que lorsqu'il y a trop de choix possibles sur les hypothèses des théorèmes le BO devrait explicitement donner ces théorèmes à la virgule près. Ce n'est pas le cas.

AUssi l'objet de ce fil est d'énoncer ces théorèmes pour chacun des trois contextes (CPGE, agreg interne et externe) en mettenant en valeur les différences parfois subtiles et des exemples de situations qui se gèrent facilement dans un contexte (programme) et pas dans un autre.

Il serait bon que ces énoncés soient validés par des personnes "compétentes" i.e. le plus au fait des programmes c'est à dire plus particulièrement les professeurs de chaire supérieure (en exercice) les préparateurs agreg (interne et externe).

cyrille · March 2008

bonsoir,

je crois que le plus sage est de commencer par copier ici rigoureusement les passages correspondants dans les divers BO ...ensuite d'avoir les avis des personnes adequates....( histoire de parler des "mêmes" théorèmes sans aucune ambiguité ^^)

PS: je viens de rajouter en fichier joint des parties de programme ( CPGE et agreg interne) que je viens de prendre dans les BO.

e=mc3 · March 2008

Ton fichier est le même que celui que j'ai téléchargé la semaine dernière sur internet. Il n'y a rien d'intéressant dedans

cyrille · March 2008

ha bon pour un prof trouver que dans le BO il n ' y a rien d interessant...ça promet.....c'est juste ton cahier des charges ...mais bon si d'illustres enseignants demandent de toujours se réferer au BO ....tu leurs expliqueras qu'il n y a rien d interessant dedans....
dis le au jury aussi tu verras....
et dire que je croyais que tout enseignant se referrait au BO.....

Ben pas loggué · March 2008

Pour ce qui est de l'agreg externe, le cadre choisi pour l'intégration par le programme est celui de l'intégrale de Lebesgue. Seule la construction de la mesure de Lebesgue sur R^n peut être admise. Pour les CPGE, le cadre choisi pour l'intégration est celui des fonctions continues par morceaux. La différence est faite pour les intégrales généralisées entre intégrale semi convergente et intégrale absolument convergente. Pour les théorèmes relatifs à la convergence des intégrales associées à une suite de fonctions, seul reste au programme le théorème de convergence dominée depuis 2005. De plus sa démonstration n'est pas au programme. Entre 1997 et 2004, étaient au programme le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée, uniquement pour les fonctions continues, et les démonstrations étaient uniquement exigibles lorsque la convergence était uniforme sur tout compact.
Ceci est clair, l'a toujours été dans les classes de CPGE et les préparations à l'agreg, du moins celles où je suis passé en tant qu'étudiant.

e=mc3 · March 2008

Cyrille

dans ce BO (le pdf que tu as joint) il y a référence à un autre BO. Il n'y a pas une ligne sur le programme on nous dit de nous reporter au BO de 1999...

Merci Ben pas loggé

mais même à l'externe on peut ne pas se trouver dans le cadre de l'absolue convergence et l'on a alors besoin d'outils plus fins du style CPGE.
Quand à l' interne la dedans elle me donne l'impression d'être en deux eaux aux contours mal définis

Sarko powaaa · March 2008

"c'est juste ton cahier des charges ...mais bon si d'illustres enseignants demandent de toujours se réferer au BO ."

Ca c'est de l'argument....

Ba ouais e=mc3 si on te dit que c'est bien tu devrais le croire les yeux fermés quand même !!! Ah lalala je te mettrais tout ça au goulag moi

t-mouss

cyrille · March 2008

toujours aussi efficace t-mouss...change rien :-p

demain y a greve tu vas pouvoir te reposer un peu ...tu as l air si fatigué :-p

e=mc3 · March 2008

Bon, je prends comme exemple une question du sujet d'analyse 2007 au concours externe de l'agrégation.

Il s'agissait de démontrer que $\int_{-\pi}^{\pi}(1-\eta cos^2(\theta))^{n/2}d\theta$ tend vers zéro quand n tend vers l'infini (+ l'infini!)

$\eta \in ]0,1[$

1°) A l'agreg externe la solution est simplissime:

$(1-\eta cos^2(\theta))^{n/2}\leq 1$ avec 1 intégrable sur $[-\pi,\pi]$
de plus $(1-\eta cos^2(\theta))^{n/2}$ tent vers simplement vers 0 sauf en deux points ($-\pi /2 et \pi /2$) qui constituent une partie négligeable de
$[-\pi,\pi]$. On a donc le résultat par convergence dominée.

2°)Comment rédiger une solution à cette question dans le cadre des CPGE, alors qu'il ne semble pas que la notion de partie négligeable dans le théorème de convergence dominée y soit explicitée (on est dans le cadre de Riemann)

3°)Comment rédiger une solution à cette question dans le cadre de l'agreg interne alors qu'il ne semble pas que la notion de partie négligeable dans le théorème de convergence dominée y soit explicitée (à l'agreg interne il n'y a pas de Lebesgue si je ne m'abuse)

Il semble qu'il faille découperl'intervalle de départ en morceaux pour isoler les points à problème...

Aleg · March 2008

Je ne comprends pas :
la suite de fonctions $(f_n)$ définies sur $[-\pi ;+\pi ]$ par $f_n(x)=(1-\eta \cos ^2 x)^{n/2}$ converge simplement vers la fonction $f$ définie sur $[-\pi ;+\pi ]$ par $f(x)=1$ si $x=\pi /2$ ou $x=-\pi /2$ et $f(x)=0$ sinon.
Que vient faire ici la notion de partie négligeable ?

aléa · March 2008

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} (1-\eta \cos^2(\theta))^{n/2} \mathrm d\theta = 4\int_{0}^{\pi/2} (1-\eta \cos^2(\theta))^{n/2}\mathrm d\theta $.

Or, $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} (1-\eta \cos^2(\theta))^{n/2} \mathrm d\theta \le \epsilon/2 + \int_{0}^{\pi/2-\epsilon/2} (1-\eta \cos^2(\theta))^{n/2} \le \epsilon/2 + \frac\pi{2} (1-\eta \sin^2\frac\epsilon{2})^{n/2} $

Je te laisse conclure.

Par ailleurs, l'an dernier, les correcteurs du capes avaient des instructions pour accepter la convergence dominée et ses copains si les hypothèses sont bien vérifiées.

Snowracer0 · March 2008

j'ai un peu le même pb que e=mc3. Dans le programme du concours (AI) concernant les integrales sur un intervalle quelconque d'une fonction dépendant d'un parametre, la fonction f(x,t) sous le signe somme doit etre continue sur le produit d'intervalles pour pouvoir appliquer les deux thms admis de continuité et dérivabilité.
ex: Je souhaite etudier la continuite de F(x)=Int(de 0 a +infini) de f(x,t) dt,
(s'cusez)
où f(x,t)=sint/(t+x) si (x,t) different de (0,0); 1 sinon; avec x et t positifs ou nuls.
A moins que je n'ai rien compris, elle n'est pas continue en (0,0) cette fonction.
Suivant les bouquins et leur année de parution, les thms qui permettent de montrer que F le sera sont différents; j'en ai trouvé un qui me permet de m'en sortir avec de la continuité par morceaux par rapport à l'une des variables, dans un bouquin de spé. Qu'est ce que ça peut donner le jour du concours: je fais un grand sourire et je dis: j'ai trouvé quelque chose qui me permet de m'en sortir sous des hypotheses moins fortes, le voici; ou bien je ne propose pas cet exo ?

aléa · March 2008

Quand la fonction qu'on intègre est bornée au voisinage du point où ça merdouille, il suffit de couper l'intégrale en deux (cf ce que j'ai écrit plus haut).

Etre capable de couper des trucs en deux plutôt que d'espérer un théorème marteau-pilon, ça peut faire aussi partie des choses que l'on teste.

Snowracer0 · March 2008

Aléa, veux-tu bien m'excuser si ma question te semble débile: je regarde l'integrale sur [0;1] de f(x,t), que j'appelle F1(x). je majore f(x,t) en va par 1, c'est integrable donc F1 est définie. Comment tu fais pour la continuité de F1?
Au passage, je voudrais gentiment préciser à tout ceux qui disent «c'etait comme ça quand je suivais la prépa agrég» que nous n'avons malheureusement pas tous cette chance de pouvoir cuisiner un formateur et donc de savoir ce que l'on peut mettre dans «les copains de la cvd».

gb · March 2008

Avec $\displaystyle F(x) = \int_0^\infty \dfrac{\sin t}{t+x}\,dt$, on a déjà un problème d'existence de l'intégrale qui n'est que semi-convergente.
Sur un intervalle non compact, aucun théorème "marteau-pilon" n'est disponible.

Deux méthodes principales:
– ce qu'on appelait dans mon enfance les "intégrales uniformément convergentes" : pour tout entier $n$ non nul, on pose $\displaystyle F_n(x) = \int_{1/n}^n \dfrac{\sin t}{t+x}\,dt$. On intègre ainsi, sur un intervalle compact, une fonction continue, de classe $\mathcal{C}^\infty$ en cas de besoin, et tout va bien pour obtenir les propriétés de $F_n$. Reste à montrer la convergence uniforme de la suite $(F_n)$ vers $F$, éventuellement la convergence uniforme de la suite $(F_n')$...
– dans ce cas particulier, un changement de variables suivi d'un peu de trigonométrie pour se ramener à une intégrale fonction de ses bornes : $\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\sin t}{t+x}\,dt = \int_x^\infty \dfrac{\sin (u-x}{u}\,du = \cos x \int_x^\infty \dfrac{\sin u}{u}\,du - \sin x\int_x^\infty \dfrac{\cos u}{u}\,du$

aléa · March 2008

Il faut revenir à la définition de la continuité et choisir l'endroit où tu coupes en fonction de $\epsilon$.

$$F(x)=F_{\delta}(x)+R_{\delta}(x)$$

Comme $|f|\le 1$, on a $|F_{\delta}(x)|\le \delta$. Et là c'est super, car le contrôle ne dépend pas de $x$ !

Je suppose que tu as montré en préalable que pour tout $\delta>0$ $R_{\delta}$ est continue (ce n'est pas forcément facile).

Après, c'est fini.
Soit $\epsilon>0$, on prend $\delta=\epsilon/4$.
Tu prends $\alpha$ tel que $|x-x_0|\le\alpha$ entraîne $|R_{\delta}(x)-R_{\delta}(x_0)|\le \epsilon/2$, et tu récupères que
$|x-x_0|\le\alpha$ entraîne $|F(x)-F(x_0)|\le \epsilon$.

e=mc3 · March 2008

Pour Aleg
Ce n'est pas $\lim f_n$ qui nous intéresse mais son intégrale entre $-\pi$ et $\pi$. Cette intégrale ne change pas si je change la valeur de $\lim f_n$ sur une partie négligeable en l'occurrence en deux points.

Alea
"{\it Par ailleurs, l'an dernier, les correcteurs du capes avaient des instructions pour accepter la convergence dominée et ses copains si les hypothèses sont bien vérifiées.}"
Tu tiens cela d'où ? Tu es correcteur ? Il y des questions gratinées qui deviennent triviales avec l'usage de Lebesgue. Pouvoir y faire appel alors que celui qui a conçu le sujet l'a fait avec comme optique une solution "manuelle" n'est-ce pas un peu se détourner de la philosophie même d'un sujet. Je me souviens qu'à l'époque ou j'étais en prépa seuls les concours M' avaient droit à la convergence uniforme. Les concours M devaient tout se taper à la main pour les histoires de convergences, continuité etc avec les intégrales et les sujets n'étaient pas rédigés de la même façon.
Pour en revenir à mon exemple (au fait tu as oublié un $-\epsilon/2$ mais ça ne change rien) :
1°) La conclusion n'est pas immédiate. En effet dans le deuxième terme on a en gros du $(1-\epsilon)$ élevé à la puissance $n$. Pour moi il faut ensuite utiliser une technique que l'on retrouve dans les démos des théorèmes taubériens et dans laquelle $\epsilon$ et $n$ sont liés : $\epsilon n=1$.
On a alors à étudier
\begin{align*}
(1-\eta \sin^2(1/2n)^{n/2} &=\exp\big(n/2 \ln(1-\eta \sin^2(1/2n))\big) \\
&= \exp \big(n/2 \ln(1-\eta (1/4n^2+o(1/n^2)))\big) \\
&= \exp \big(n/2 (-\eta (1/4n^2+o(1/n^2)))\big) \\
&= \exp \big( -\eta (1/8n^2+o(1/n))\big)
\end{align*}
qui tend bien vers zéro quand $n$ tend vers l'infini. Après il n'y a plus qu'à fignoler la rédaction.
Il est clair que c'est beaucoup plus lourd.

2°) Cette façon de procéder est elle LA méthode pour les CPGE ou pour l'agreg interne. Y a-t-il des nuances de rédaction qui permettraient dans un cas où dans l'autre d'aller plus vite ?

e=mc3 · March 2008

1°)Cyrille

mille excuses. J'ai retéléchargé ton fichier une nouvelle fois. Il y avait un problème de mélange avec un autre fichier portant le même nom. Ton extrait est intéressant. La continuité par morceau permet de gérer la plupart des cas posant problèmes dans la pratique (si convergence absolue bien sûr dans le cas des intégrales impropres, sinon il faut retrousser ses manches), le nombre fini de discontinuités est une version soft de "ensemble des discontinuités" de mesure nulle

2°)Sinon qu'en est il du (des) théorèmes de domination locale? ( j'entends pas là la domination sur tout compact): CPGE, interne, externe?

3°)Quels sont les théorèmes que l'on a à sa disposition lorsque la cvd ne marche pas pour les intégrales impropres. Je rappelle que si $f_n$ intégrables converge uniformément sur I vers f intégrable je n'ai pas forcément $\int_{I}lim f_n=lim \int_{I} f_n

Au fait pourquoi dans les rapports de jury il n'y a pas le programme?

aléa · March 2008

e=mc3 Écrivait:

> Tu tiens cela d'où ? Tu es correcteur ? Il y des

Je le tiens d'un correcteur.

> questions gratinées qui deviennent triviales avec
> l'usage de Lebesgue. Pouvoir y faire appel alors
> que celui qui a conçu le sujet l'a fait avec comme
> optique une solution "manuelle" n'est-ce pas un
> peu se détourner de la philosophie même d'un

Ca se discute. C'est pourquoi il y a des réunions de jury, des instructions de correction... Je te raconte ce qui s'est passé une année n, je ne te donne
aucune garantie pour n+1 ou n+2.

> sujet. Je me souviens qu'à l'époque ou j'étais en
> prépa seuls les concours M' avaient droit à la
> convergence uniforme. Les concours M devaient tout
> se taper à la main pour les histoires de
> convergences, continuité etc avec les intégrales
> et les sujets n'étaient pas rédigés de la même
> façon.

Oui, mais c'est un contexte assez différent, puisque le capes est plutôt un sous-ensemble de ce que les candidats ont vu de manière standard.
Le problème de l'équité envers les candidats, de la dépendance à la préparation suivie, ne se pose pas de la même manière, à mon avis.

> Pour en revenir à mon exemple (au fait tu as oublié un $-\epsilon/2$ mais ça ne change rien) :
> 1°) La conclusion n'est pas immédiate. En effet dans le deuxième terme on a en gros du
> $(1-\epsilon)$ élevé à la puissance $n$. Pour moi il faut ensuite utiliser une technique que l'on
> retrouve dans les démos des théorèmes taubériens et dans laquelle $\epsilon$ et $n$ sont liés : $\epsilon n=1$.

Pas besoin de Tauber.
Voir ci-dessous

> 2°) Cette façon de procéder est elle LA méthode
> pour les CPGE ou pour l'agreg interne. Y a-t-il
> des nuances de rédaction qui permettraient dans un
> cas où dans l'autre d'aller plus vite ?

Je conclus ci dessous avec les deux versions.

On a montré: pour tout $n\ge 1$, pour tout $\epsilon\in ]0,\pi/2[$

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} (1-\eta \cos^2(\theta))^{n/2} \mathrm d\theta \le \epsilon/2 + \frac\pi{2} (1-\eta \sin^2\frac\epsilon{2})^{n/2} $

Version prépa:

Soit $\epsilon\in]0,\pi/2[$.

Comme $(1-\eta \sin^2\frac\epsilon{2})^{n/2}$ tend vers $0$, pour $n$ suffisamment grand
$\frac\pi{2} (1-\eta \sin^2\frac\epsilon{2})^{n/2}\le\epsilon/2$ et c'est fini.

Version agreg interne

Soit $\epsilon\in ]0,\pi/2[$. Je fais tendre $n$ vers l'infini dans l'inégalité: il vient
$\limsup_{n\to +\infty}\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} (1-\eta \cos^2(\theta))^{n/2} \mathrm d\theta \le \epsilon/2.$

Maintenant, je fais tendre $\epsilon$ vers $0$ et c'est fini.

e=mc3 · March 2008

Effectivement Aléa il n'y a pas besoin de faire tout le cinéma que j'ai fait.

Snowracer0 · March 2008

à gb: merci de m'avoir rappelé l'option suites de fonctions.
à alea: merci aussi c'est super ton truc. oui Rd est continue sur R+ et en plus j'ai utilisé les th autorisés au concours; sur [d;T] on integre par parties et apres on peut majorer par 1/t^2 d'où Rd(x)=cosd/(d+x)-Int(de d à +infini)cost/(t+x)^2dt continue.

intégration: CPGE; agreg interne, agreg externe

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion