Equation dérivées partielles

Jimmy
Jimmy
dans Analyse
Bonjour,

Dans un exo, on donne la fonction $\Phi$ qui va de $(\mathbb{R}^*_+)^2$ dans $\mathbb{R}^2$, qui , à un couple $(x,y)$, associe le couple $(u,v)$ tel que $u=\frac{x}{y}$ et $v=xy$. Par la suite, on donne la fonction $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, $C^2$ sur $(\mathbb{R}^*_+)^2$, et la fonction $g$, de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ telle que $go\Phi=f$.

On me demande de calculer $\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}$ en fonction des dérivées partielles premières et secondes de $g$.

J'ai réussi à trouver une expression, mais seulement en fonction des dérivées partielles secondes de $g$... Du coup, il doit certainement y avoir une erreur dans ce que j'ai fait. Voici l'expression que je trouve, qu'en pensez-vous?

$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{y} \, \frac{\partial ^2 g}{\partial u^2} + y \, \frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}$

Merci d'avance!

Réponses

  • Jimmy
    Jimmy
    Personne ne voit...?
  • Remarque0
    Remarque0
    Si. Ton expression n'est pas correcte (mais pas pour la raison que tu penses). Que trouves-tu déjà pour $\frac{\partial f}{\partial x}$ ?
  • Kamel
    Kamel
    remarque a écrit:
    mais pas pour la raison que tu penses

    tu lis dans les pensées ?!
  • Remarque0
    Remarque0
    Eh, de temps à autre, oui. Plus ou moins. ;) En tout cas, ici je les devine à de subtils indices.
  • egoroff
    egoroff
    Trop fort le sherlock remarque B-)-
  • Remarque0
    Remarque0
    Elémentaire, my dear egoroff.
  • Jimmy
    Jimmy
    J'ai procédé ainsi:

    $ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}( \frac{\partial g}{\partial u}(u,v))= \frac{\partial}{\partial u}( \frac{\partial g}{\partial u}(u,v)) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial v}( \frac{\partial g}{\partial u}(u,v)) \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial ^2 g}{\partial u^2} \times (\frac{1}{y}) + \frac{\partial ^2 g}{\partial v \partial u} \times (y)$

    D'où le résultat que j'ai mis plus haut..

    C'est incorrect à quel niveau?
  • Remarque0
    Remarque0
    Dès la première égalité. Tu dois d'abord écrire
    $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$
    et itérer une deuxième fois le calcul.
  • Jimmy
    Jimmy
    Je détaille un peu plus le début de mes calculs, je ne vois vraiment pas ce qui est incorrect:

    $ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial g}{\partial u}(u,v))$ et on complète avec mon message précédent!
  • egoroff
    egoroff
    Eh bien comme remarque te l'a expliqué, on n'a pas $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)$. Essentiellement parce que la dépendance par rapport à $x$ de $g(u,v)$ ne se traduit pas qu'à travers $u$.. $v$ aussi dépend de $x$ !

    L'idée est que tu peux écrire $(u,v)=\varphi(x,y)$, et alors $f(x,y)=g(\varphi(x,y))$, il s'agit donc de dériver une composée (et d'appliquer le cours).
  • jp
    jp
    Bonsoir,

    remarque pense que Jimmy pense que son résultat est faux parce qu'il n'y voit pas de dérivées premières.

    L'expression est fausse, mais le bon résultat ne comporte pas de dérivées premières de $g$, je vote pour :
    $$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac1{y^2}\frac{\partial^2g}{\partial u^2}+2\frac{\partial^2g}{\partial u\partial v}+y^2\frac{\partial^2g}{\partial v^2}$$

    Il est prudent de trainer les variables $\left(\frac{x}{y},xy\right)$ de $g$ à chaque étape du calcul.

    En espérant ne pas dire trop de sottises.
  • Remarque0
    Remarque0
    jp a lu dans mes pensées ! ;)
  • Jimmy
    Jimmy
    Bonsoir :)

    Je reprends, afin d'essayer d'aboutir à l'expression de jp:

    $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x} (x,y))=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial g}{\partial u} (u,v) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial v} (u,v) \frac{\partial v}{\partial x})= \frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{y} \,\frac{\partial g}{\partial u} (u,v) + y \, \frac{\partial g}{\partial v} (u,v))$

    Soit en poursuivant,

    $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)= \frac{\partial}{\partial u}(\frac{1}{y} \, \frac{\partial g}{\partial u} (u,v)+ y \, \frac{\partial g}{\partial v} (u,v)) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{1}{y} \, \frac{\partial g}{\partial u} (u,v)+ y \, \frac{\partial g}{\partial v} (u,v))\frac{\partial v}{\partial x}$

    Si cela est correct jusque là, ce que je pense, on arrive ensuite, en décomposant, au calcul, entre autres, de $\displaystyle \frac{\partial }{\partial u} (\frac{1}{y})$. Cela n'est pas nul, étant donné que $y$ dépend de $u$ non? Alors du coup, on ne retrouve pas l'expression de $jp$...
  • Remarque0
    Remarque0
    Jimmy, désolé, je ne comprends pas comment tu t'y prends (les ondes psychiques ne sont pas favorables ce soir). C'est toujours mieux de procéder par étapes. On commence donc par
    $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}(g(u(x,y),v(x,y)))=\frac{\partial g}{\partial u}(u(x,y),v(x,y))\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial g}{\partial v}(u(x,y),v(x,y))\frac{\partial v}{\partial x}(x,y).$$
    Comme $\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac1y$ et $\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=y$, \c ca donne
    $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac1y\frac{\partial g}{\partial u}(u(x,y),v(x,y))+y\frac{\partial g}{\partial v}(u(x,y),v(x,y)).$$
    On recommence selon le même principe. Comme on dérive par rapport à $x$, les termes en $y$ agissent comme des constantes et (sans écrire tous les arguments)
    $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac1y\frac{\partial }{\partial x}\Bigl(\frac{\partial g}{\partial u}\Bigr)+y\frac{\partial }{\partial x}\Bigl(\frac{\partial g}{\partial v}\Bigr)
    =\frac1y\Bigl(\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)+y\Bigl(\frac{\partial^2 g}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr).$$
    En rempla\c cant $\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac1y$ et $\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=y$, il vient finalement,
    $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac1{y^2}\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}+2\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}+y^2\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}$$
    comme indiqué par jp, qui a fait preuve de dons extrasensoriels hors du commun !
  • jp
    jp
    Continuons ton calcul (non optimal) (et effectivement correct) :
    $x=\sqrt{uv}$ et $y=\sqrt{v/u}$.
    Donc
    $\displaystyle \frac{\partial }{\partial u} (\frac{1}{y})=-\frac{y^2}{2x}$.
    En continuant ainsi ton calcul (sans oublier que la dérivée d'un produit $f\times g$ est $f'g+fg'$ !) dans l'expression
    $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)= \frac{\partial}{\partial u}(\frac{1}{y} \times \frac{\partial g}{\partial u} (u,v)+ y \times \frac{\partial g}{\partial v} (u,v)) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{1}{y} \times \frac{\partial g}{\partial u} (u,v)+ y \times \frac{\partial g}{\partial v} (u,v))\frac{\partial v}{\partial x}$
    on retrouve exactement l'expression dite de jp.

    Maintenant en remontant un peu, on retrouve ce même résultat de manière moins masochiste (ce que te propose remarque) :
    $$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{y} \,\frac{\partial g}{\partial u} (u,v) + y \, \frac{\partial g}{\partial v} (u,v))=\frac{1}{y}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial u} (u,v) + y \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial v} (u,v)$$
  • Jimmy
    Jimmy
    Merci de votre réponse, je vais étudier cela...
  • Jimmy
    Jimmy
    Bonjour :)

    Je pense à présent avoir assez bien compris. Ainsi, j'ai calculé de la même manière $\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x,y)$.

    Je me permets de vous poser une autre question, liée à l'exercice que je fais actuellement.
    Après avoir déterminé les dérivées partielles secondes de $f$, je me retrouve avec l'edp suivante:

    $\displaystyle -\frac{2x}{y} \, \frac{\partial g}{\partial u}(u,v) + 4x^2 \, \frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}(u,v)=0$.

    On demande dans un premier temps, en posant $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}=h$, de déterminer $h$, puis d'en déduire $g$.

    En considérant ces indications, cela donne:

    $\displaystyle -\frac{2x}{y} \, h(u,v) + 4x^2 \frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}(u,v)=0$.

    On peut donc isoler $h$, soit $\displaystyle h(u,v)=2xy \, \frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}(u,v)$.
    Est-ce cela, "déterminer $h$"?
  • jp
    jp
    Bonjour,

    Qu'as tu trouvé pour $\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x,y)$ ?

    Si $\displaystyle h=\frac{\partial g}{\partial u}$, tu vas aussi exprimer $\frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}(u,v)$ en fonction de $h$. Tu obtiendras une équation différentielle du premier ordre en $h$.
    Par ailleurs, $h$ est une fonction de $u,v$ donc dans cette équation différentielle, tu devras remplacer $x,y$ par leurs valeurs en fonction de $u,v$.

    PS : quelle edp en $f$ dois-tu résoudre ?
  • Jimmy
    Jimmy
    Bonjour $jp$,

    J'ai trouvé $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x,y)= \frac{2x}{y^3} \, \frac{\partial g}{\partial u}(u,v) + \frac{x^2}{y^4} \, \frac{\partial ^2 g}{\partial u^2}(u,v) - \frac{2x^2}{y^2} \, \frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}(u,v) + x^2 \, \frac{\partial ^2 g}{\partial v^2}(u,v)$.

    On a $\displaystyle \frac{\partial ^2 g}{\partial u \, \partial v}(u,v)= \frac{\partial h}{\partial v}(u,v)$ à priori.

    D'où l'edp:
    $ \displaystyle h(u,v)=2xy \, \frac{\partial h}{\partial v}(u,v)$

    ... non?
    Si oui, je ne vois pas bien comment poursuivre...
  • jp
    jp
    Ok pour $ \displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(x,y)$.

    L'edp que tu obtiens s'écrit donc $ \displaystyle h(u,v)=2v \, \frac{\partial h}{\partial v}(u,v)$
    Si tu ne vois pas bien les choses sous cette forme :
    soit $u$ (provisoirement) fixé, posons $h_u(v)=h(u,v)$, on a :
    $$ h_u(v)=2vh_u'(v)$$
    ou encore, pour revenir à des notations (plus habituelles ?), $h_u$ est une solution de :
    $$y=2ty'$$
    Donc il existe une constante $C$ telle que $h_u(v)=Ce^{...}=...$
    On peut donc déterminer $h_u$ à une constante près. La variable de l'équation différentielle est $v$, la constante ne dépend donc pas de $v$, mais peut dépendre de $u$, on note donc plutôt :
    $h_u(v)=C(u)\times e^{...}=...$.
    Reste à remplacer $h$ par $\frac{\partial g}{\partial u}$ et terminer le boulot en résolvant une seconde équation différentielle.

    Re PS : quelle edp en $f$ devais-tu résoudre ?
  • egoroff
    egoroff
    Jimmy > jp a également écrit :

    "Par ailleurs, $ h$ est une fonction de $ u,v$ donc dans cette équation différentielle, tu devras remplacer $ x,y$ par leurs valeurs en fonction de $ u,v$"

    Pourquoi ne pas suivre ses indications jusqu'au bout ?
  • Jimmy
    Jimmy
    Bonsoir!

    Jusque là: $ \displaystyle h(u,v)=2v \, \frac{\partial h}{\partial v}(u,v)$
    Pas de problèmes.

    Par contre, pour la suite, j'avoue ne pas bien comprendre..
  • Jimmy
    Jimmy
    Bonjour,

    Au final, si j'ai bien compris, je trouve, sauf erreur:

    $\displaystyle g(u,v) = \sqrt{v} \, \int C(u) \, du$, avec $C(u)$ une fonction quelconque de $u$, $C^2$.

    Je ne vois pas d'autres simplifications faisables, je crois qu'il faut laisser l'intégrale telle quelle.

    Est-ce cela?

    Merci d'avance.
  • Remarque0
    Remarque0
    Oui. En fait, tu peux laisser tomber le signe somme : une primitive d'une fonction arbitraire de $u$ est essentiellement une fonction arbitraire de $u$.
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