la compacité de la boule unité

snod
snod
dans Topologie
Bonsoir
J'ai besoin de vous pour cette question :
Est-ce que la boule unité de l'espace C1([0,1]) est compacte dans l'espace C([0,1]) ?
Merci

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Compacte non car pas fermée me semble-t-il, mais relativement compacte - c est à dire d adhérence compacte - c est certain (facile avec Ascoli).
  • Remarque0
    Remarque0
    Non. Elle est relativement compacte, mais pas compacte (car pas fermée).
  • Remarque0
    Remarque0
    Ention et damnafer, grillé sur le fil par rien moins que Saint Egoroff...
  • snod
    snod
    merci pour votre réponse , la boule unité est relativement compacte car elle équicontinue et uniformément borné d'après ASCOLI , mais pouvez vous me dire pourquoi elle n'est pas fermée. merci
  • egoroff
    egoroff
    Eh bien mon cher ami, tu pourrais chercher une suite de fonctions $C^1$ à dérivées uniformément bornées, convergeant uniformément vers une fonction non dérivable (par exemple tu peux prendre $f(x)=|x|$ sur $[-1,1]$ comme limite).

    Voyons si j'ai à nouveau grillé notre seigneur à tous.
  • Remarque0
    Remarque0
    Grillé tu m'as une fois de plus, mon bon egoroff. Mais je voyais que tu avais la situation bien en main, alors j'ai relâché quelque peu ma vigilance...
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Bonsoir :
    J'ai compris le deuxième argument qui n'est autre que l'application directe du théorème d'Ascoli car $\ \mathcal{C}^{1}([0,1]) $ est équicontinue pour tout $\ x \in [0,1] $, néanmoins, un truc ( qui peut sembler un peu stupide ) que j'ai pas compris : pourquoi la boule unité n'est pas fermée ... ?
    Merci d'avance !!
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    D'accord, vous prenez une suite qui converge en dehors de la boule unité ! c'est bien ! .. ça veut dire quoi uniformement bornée ? ça veut dire bornée suivant la norme uniforme c'est ça ?
  • snod
    snod
    Bonjour
    On sait que l'espace C([0,1]) muni de la norme de convergence uniforme est un Banach.
    Soit F le sous-espace vectoriel fermé de C([0,1]) telle que toute fonction de F est de classe C1 ? Est-ce que F muni de la norme de la convergence uniforme est un Banach ?
    Merci

    [ Stefan Banach (1892-1945) mérite bien une majuscule :) AD]
    [Pourquoi ne pas rester dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet concernant le même problème ?
    Ainsi, une recherche ultérieure donnera tous les messages groupés. AD]
  • ryo
    ryo
    Est ce que la limite uniforme d'un suite de fonctions de classe $C^1$ est $C^1$ ?
  • Remarque0
    Remarque0
    Il me semble qu'il t'a déjà été fait remarquer la boule unité de C1 n'est pas fermée dans C0... conclus toi-même !
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Bonjour!

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