irréductibilité de aX+b

e=mc3
e=mc3
dans Algèbre
Bonjour

Mon problème de départ était l'étude de l'irréductibilité de XY-1 dans $\C[X,Y]$
En considérant ce polynome dans $\C[Y][X]$ je me suis retrouvé à étudier l'irréductibilité d'un polynome de degré 1 en une variable sur anneau intègre.

J'ai eu envie de généraliser cette étude:
je cherche à discuter de l'irréductibilité du polynome $P=aX+b \in A[X]$ en fonction des coefficients a et b et de la nature de l'anneau A.

Pour ce qui est de A je vois deux grands cas particuilers
1)A est en fait un corps
2)A n'est pas un corps mais est quand même intègre
3)Si A n'est même pas intègre à mon avis on ne peut plus dire grand chose si ce n'est qu'il y a peu de chance pour ce que ce soit irréductible. Mais des contre exemples seraient intéressants

Au fait question bête: dans un corps les constantes b ne sont jamais irréductibles

Réponses

  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    S'il n'est pas intègre, il sera toujours reductible je crois.
  • gb
    gb
    e=mc3 a écrit:
    Pour ce qui est de A je vois deux grands cas particuilers
    1)A est en fait un corps
    2)A n'est pas un corps mais est quand même intègre
    3)Si A n'est même pas intègre à mon avis on ne peut plus dire grand chose si ce n'est qu'il y a peu de chance pour ce que ce soit irréductible. Mais des contre exemples seraient intéressants

    Donc 2=3, et l'arithmétique est contradictoire.

    Plus sérieusement : (2X+1)(3x+2) = X+2 dans (Z/6Z)[X]
  • e=mc3
    e=mc3
    gb
    il s'agit d'un exemple et non d'un contre exemple.
    En restant dans $\Z/6\Z$ je propose 4X+3 comme irréductible (sauf si erreur de calcul)

    Au fait dans Maple les factorisations modulo p ne semblent marcher que pour un entier p premier
  • gb
    gb
    e=mc^3> un exemple est un contre-exemple de la négation.

    Je n'avais pas compris ce que tu cherchais comme contre-exemple.

    Il me semble que $X$ est irréductible dans $(\Z/6\Z)[X]$, mais je puis m'être trompé...

    [edit] Merci Bruno
  • Michel Coste
    Michel Coste
    @gb: (2X+3)(3X+2)=X mod 6.

    Cordialement,

    MC
  • GreginUK
    GreginUK
    Meme si $A$ est integre, il peut se passer des choses pas sympas. Par exemple, $2X$ est reductible dans $\mathbb{Z}[X]$ et irreductible dans $\mathbb{Q}[X]$.
  • e=mc3
    e=mc3
    Je réitère ma remarque concernant Maple qui sait faire plein de choses. Y a-t-il un moyen avec Maple de se lancer dans la mise en facteur dans $\Z/n\Z[X]$ avec n non premier?
  • Michel Coste
    Michel Coste
    Bonjour,

    Même si Maple est fortiche, il ne peut pas faire l'impossible : factoriser dans un anneau qui n'est pas factoriel.

    Cordialement,

    MC
  • e=mc3
    e=mc3
    Ce n'est pas parce qu'un anneau n'est pas factoriel qu'on ne peut pas se poser la question de l'existence d'une ou de plusieurs mises en facteur pour un polynome donné au moins avec des facteurs de degré inférieur.

    Bref Maple est donc incapable de nous dire si un élément est irréductible.
    Il y a des logiciels qui savent faire ca dans Z/nZ[X]?
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