Dimension de l'espace des formes n-linéaires alternée

skywitit
skywitit
dans Algèbre
Bonjour,

Je voudrais déterminer la dimension de l'espace des formes $n$-linéaires en dimension $d$ quelconque. Je sais déjà que pour $d=n$ cette dimension est $1$. J'ai essayé aussi d'utiliser la même démonstration pour généraliser le résultat en dimension quelconque et je me suis rendu compte que la dimension était nulle pour $d<n$. Reste donc a traiter le cas où $d>n$ mais j'ai du mal à manipuler la somme et à comprendre l'action des permutations sur les indices...

Merci de votre aide.

Réponses

  • jobherzt
    jobherzt
    Si ma memoire est bonne, l'idée est la suivante : tu peux voir la donnée de $d$ vecteurs de taille $n$ comme une matrice rectangulaire de hauteur $n$ et de largeur $d$.

    Ensuite, il s'agit de prouver que l'espace des formes $n$-linéaires en dimension $d$ a pour base particulière l'ensemble des applications determinants que tu peux former sur ta matrice. Ex, si $n=2$ et $d=3$ tu as la matrice :

    $$X=
    \begin{pmatrix}
    X_{11} & X_{12} & X_{13} \\
    X_{21} & X_{22} & X_{23}
    \end{pmatrix}
    $$
    Dans ce cas une base est formée par les applications

    $$X \mapsto \det \begin{pmatrix}
    X_{1i} & X_{1j} \\
    X_{2i} & X_{2j}
    \end{pmatrix}
    $$
    avec $i < j$ et $i,j \in \{1,2,3\}$. De la tu peux déduire la dimension de l'espace (c'est le nombre de maniere de choisir i et j).
  • skywitit
    skywitit
    Merci, mais je ne vois pas comment montrer la liberté de la famille des $X \mapsto \det \begin{pmatrix}
    X_{1i} & X_{1j} \\
    X_{2i} & X_{2j}
    \end{pmatrix}
    $
  • jobherzt
    jobherzt
    Je t'avoue que je n'ai plus la demo en tete, mais c'etait astucieux et pas si simple. Comme ca (mais c'est approximatif), l'idée etait d'introduire un ordre sur les indeterminée, puis de montrer que s'il existait une combinaison lineaire qui annulait les applications $\det$, alors le coefficient associé à l'élément maximal pour l'ordre sur les indeterminées etait nul. Donc on vire cet element maximal de la combinaison lineaire (puisque son coeff est nul), et on recommence avec l'element maximal parmi ceux qui restent, et ainsi de suite.

    L'ordre sur les indeterminé peut simplement etre l'ordre lexicographique suivant le premiere puis le second indice (ie : $X_{11} < X_{12} < X_{13}\dots < X_{21} < X_{22} \dots$
  • jobherzt
    jobherzt
    Je precise : note que les applications $\det$ peuvent etre vue comme des polynomes en les $X_{ij}$. L'ordre que je donne peut etre etendu à l'ensemble des monomes en les $X_{ij}$ en rangeant dans le monome les variables par ordre croissant et en comparant la premiere variable qui differe. (note que chacun des det est une difference de 2 monomes.)

    Ensuite, suppose que tu as $\sum \alpha_{ij} \det_{ij} =0$. On regroupe les termes de la somme suivant les monomes (ie on se retrouve avec une somme $\sum \beta_{a,b,c,d} X_{ab}X_{cd}$ dans notre cas). Soit $r$ le coefficient du plus petit monome $M$ ayant un coeff non nul. On a

    $$rM + \sum \mbox{ce qui reste} =0$$

    Comme $M$ est strictement plus petit que les autres monomes, ceci implique que $r=0$ (propriété de l'ordre, si un polynome est strictement plus petit qu'un autre suivant l'ordre lexicographique, ils ne peuvent pas etre egaux).

    Ca n'est pas ecrit tres proprement mais l'idee est la, et se generalise facilement.
  • jobherzt
    jobherzt
    Ooops, ma preuve est fausse, dite comme ca... la preuve ressemble a ca mais je ne l'ai plus exactement en tete, desolé !
  • GreginUK
    GreginUK
    Salut,

    par la propriete universelle des puissances exterieures, on a

    $Alt_n(V,F)\simeq Hom_F(\Lambda^n V,F)$.

    Donc, la dimension recherchee est celle de $\Lambda^n V$, c'est-a-dire $\left(\begin{array}{c} d \cr n\end{array}\right)$, ou $d=dim(V)$.

    La calcul de la dimension des puissances exterieures n'est pas une trivialite. Voir par exemple mon poly "les modules pour les nuls", dispo sur le forum algebre. L'idee de la demo est exactement celle donnee par Jobherzt.




    Il y a pas mal de coquilles dans le poly, que je corrigerai plus tard quand j'aurai le temps.
  • Bruno
    Bruno
    Bonsoir.

    De mémoire (moi aussi). On se donne une base $B = (e_i)_{i \in \{ 1..d\}}$ et on regarde l'aspect de la valeur d'une $n$-forme $f$ sur un $n$-vecteur. Si l'on appelle $X$ une partie à $n$ éléments de $B$, ordonnée par ordre d'indices et $B[n]$ l'ensemble des parties à $n$ éléments de $B$, on voit apparaître une expression de la forme :
    $$f(x_1,...,x_n) = \sum_{X\in B[n]}D\big((x_k)_{k \in X}\big)f(X)$$
    où les $D$ représentent des déterminants. Comme il y a $C(d,n)$ éléments dans $B[n]$, on en déduit que la dimension de l'espace des formes $n$-linéaires alternées d'un espace de dimension $d \geq n$ est $C(d,n)$.

    En fait, ce n'est pas compliqué mais requiert un peu de soin.

    Bruno

    Tout ceci sous réserve de méfaits de mon Altzeimer.
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