relation entre normale et bord

Cauchy
Cauchy
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche une relation entre le vecteur normal $n$ à un point $x\in\partial\Omega$, avec $\Omega$ est un ouvert régulier de $\mathbb{R^n}$
Merci

Réponses

  • Guego
    Guego
    La relation entre le vecteur normal, ça me fait penser à la différence entre un oiseau...
  • GreginUK
    GreginUK
    Reponse a Guego: il ne sait ni voler :D
  • Michel Coste
    Michel Coste
    Pas du tout! En fait il n'y a pas de différence, parce qu'il a les deux pattes de la même longueur, surtout la gauche. ;)

    MC
  • bs
    bs
    Voici un article sur l'Evaluation de la normale au bord d'un objet discret 3D, qui doit répondre à ta question :S

    http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=1605185
  • bs
    bs
    Bonjour Cauchy,

    ...C'était quoi la question ?

    Merci, et bon samedi.
  • Cauchy
    Cauchy
    Peut-être vous n'avez pas compris la question, mais ce n'est pas gentil de répondre comme ça !
    Je reformule plus détaillé :
    Vous savez que sur la boule unité, le vecteur normale et le x sur le bords coïncident. Je demande s'il y a une relation analogue si on travaille dans un domaine quelconque.
    En d'autres termes, sur la boule unité le calcul suivant est valable :
    $\displaystyle \frac{d}{dt}v \big(f(t)x\big) = f'(t)\nabla v \big(f(t)x \big).x$ et comme $x=n$ sur le bord, alors $\nabla v(f(t)x).x$ est la dérivée normale.
    Tandis que dans un ouvert quelconque il n'y a pas de relation entre ce $x$ et le $n$ ?
    Voilà

    [La case LaTeX :) AD]
  • bisam
    bisam
    Cauchy a écrit:
    Peut-être vous n'avez pas compris la question, mais ce n'est pas gentil de répondre comme ça !

    C'est par ce que la formulation initiale de ta question n'avait aucun sens : tu n'avais pas parlé de n. Tu demandais la relation entre le vecteur normal et ... rien d'autre !
  • egoroff
    egoroff
    Cauchy : as-tu au moins réfléchi deux secondes avant de poser la question ? Regardé ce qui se passait pour une boule translatée $B(a,1)$ ou bien homohétisée $B(0,r)$ ? Pour un ouvert rectangulaire ? Ce n'est quand même pas difficile de dessiner, pour le bord $\Gamma$ d'un ouvert de $\R^2$, les deux champs de vecteurs $x \mapsto x$ et $x \mapsto n(x)$ et de voir s'ils coïncident en général...

    Déjà, puisque $n(x)$ est de norme 1, une condition nécéssaire pour que $n(x)=x$ est que la norme de $x$ soit égale à ....
  • Cauchy
    Cauchy
    Moi je ne cherche pas si $n(x)=x$, mais je cherche la relation entre $x$ et $n(x)$ pour voir ensuite comment je peux déduire de $\nabla u.x$ la dérivée normale de $u$ sur le bord,
    Mon domaine est de classe $C^{\infty}$.
  • egoroff
    egoroff
    :S

    La relation entre $x$ et $n(x)$ c'est que $n(x)$ est une fonction de $x$, comme la notation l'indique. Si ton domaine est $C^{\infty}$ alors c'est une fonction $C^{\infty}$ mais je ne vois pas quoi dire d'autre.

    Si ton domaine est donné explicitement par des équations, par exemple $\Omega=\bigcap \{f_i < a_i\}$ alors tu peux exprimer $n$ à l'aide des gradients des $f_i$ mais bon...

    Et pour finir : a priori aucun lien entre $\nabla u \cdot x$ et $\frac{\partial u}{\partial n}$ si $n$ et $x$ ne sont pas colinéaires, ce qui n'est pas le cas dès que tu n'as pas affaire à une boule centrée en l'origine. Si ce n'est que tu peux écrire $x= \lambda n(x)+t(x)$ où $t(x)$ est un vecteur "tangentiel" orthogonal à $n(x)$ ; mais savoir exprimer $t$ revient à savoir exprimer $n$.

    PS : et ma réponse à ta question sur le laplacien d'une composée ?
  • Remarque0
    Remarque0
    Pour donner un exemple plus frappant peut-être, si tu prends comme ouvert un triangle dont un des sommets est $0$, alors sur deux côtés du triangle, $\nabla u x$ est égal à $\pm\|x\|\partial_\tau u$. Or la dérivée tangentielle et la dérivée normale sont deux quantités totalement indépendantes l'une de l'autre. Il en est donc de même de $\nabla u x$ et $\partial_n u$ dans cet exemple (la classe $C^\infty$ du bord n'a aucune importance, by the way).

    De toutes façons, la question est mal partie d'entrée, car $x$ dépend d'un choix d'origine, alors que $\partial_n u$ non. On travaille en fait dans un espace affine.
  • Cauchy
    Cauchy
    Merci Egoroff pour le laplacien d'une composée, ça ma bien aidé
  • egoroff
    egoroff
    remarque Écrivait:
    > $x$ dépend d'un choix d'origine,
    > alors que $\partial_n u$ non. On travaille en fait
    > dans un espace affine.

    Tout est dit.
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