Transformation de Fourier

ryo
ryo
dans Analyse
Bonsoir, j'ai quelques petites questions sur la transformation de Fourier :

Si l'on considère la transformation de Fourier de $L^2(\R)$ sur lui-meme (une fois prolongée par Plancherel), on a un endormophisme continu de $L^2$

Alors j'ai trouvé l'adjoint : la transformation inverse (arretez moi si je me trompe), on a que la transfo est un opérateur normal (ie commute avec son adjoint), ca se dit que c'est un opérateur orthogonal meme si on est en dimension infini ?

Et je voudrais aussi savoir si la transformation de Fourier est un opérateur compact, et là je vois comment m'y prendre :-( (le seul opérateur dont je sache prouver la compacité ou la non-compacité est l'identité)

Et enfin j'aimerais une confirmation sur un théorème du Brézis (qu'évidemment je n'ai pas avec moi) qui affirme que si $H$ est un espace de Hilbert séparable et $T$ un opérateur auto-adjoint (c'est la, je ne sais plus s'il dit auto-adjoint ou normal), alors $H$ admet une base hilbertienne formé de vecteurs propres de $T$

Merci d'avance pour tout ca

PS: une petite question latex : comment fait-on un joli $F$ majuscule pour dire "transformation de Fourier", je le répète tout le temps faute de l'avoir trouvé, il me semble que c'est un peu lourd


Edit : dans mon "théorème" du à Brezis l'opérateur $T$ est aussi supposé compact. Et dire que je me suis relu..

Réponses

  • Marcpasloggue
    Marcpasloggue
    Bonsoir,

    la transformée de Fourier selon comment tu l'as normalisé est une isométrie de $L^2$ donc transforme la boule unité de $L^2$ en elle-même or celle ci n'est pas compacte car $L^2$ n'est pas de dimension finie.
  • ryo
    ryo
    Houla oui merci et dire que je me disais déja que j'allais avoir à faire des trucs compliqués à coups de Borel-Lebesgue.

    C'est souvent ce genre de ruse qui revient quand on s'interesse à la compacité d'un opérateur ou c'est parce que mon exemple était pas bien méchant ?
  • Remarque0
    Remarque0
    La transformation de Fourier (\verb+{\cal F}+) est auto-adjointe, non compacte et est une isométrie de $L^2$.

    Le théorème auquel tu fais allusion est vrai pour $T$ auto-adjoint compact. Si tu omets la compacité, c'est faux tel quel (mais il y a des généralisations).
  • Marcpasloggue
    Marcpasloggue
    Je ne sais pas si il y a des ruses particulières c'est ce qui m'est venu à l'esprit.

    Dans un Hilbert, si je me souviens de mon cours de l'année dernière c'est équivalent à être limite d'une suite d'opérateurs de rang fini, je ne sais plus trop ce qui subsiste dans un Banach quelconque.
  • ryo
    ryo
    Dans un Banach quelconque ca ne marche plus (enfin il existe des opérateurs compacts qui ne sont pas limite d'opérateurs de rang fini, l'autre sens doit rester vrai)

    Bon je dis ca je l'ai juste vu quelque part, je ne sais absolument pas le prouver, je ne connais à peu près rien sur ces opérateurs compacts, c'était un peu de curiosité et c'était pas loin d'un truc que je faisais

    En tout cas merci à tous les deux pour ces réponses claires et rapides
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