fonction sur des Endomorphismes

amine125
amine125
dans Algèbre
Bonjour, je bloque toujours sur un exo qui parait simple :

Soit (a,b,c)€R^3 , a non nul et f: Mn(R)-->Mn(R) défini par : X --> f(X) = aX^2+bX+cI
f est-elle surjective ? Même question en se plaçant sur C et non sur R

J'ai essayé de factoriser l'expression ax^2+bx+c et ainsi si f était surjective alors elle serait bijective et donc en notant
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) f surjective <=> det(x-x1I) non nul et det(x-x2I) non nul
Mais je crois qu'on ne pourrait factoriser d'une manière générale que dans C.
Merci de votre aide

Réponses

  • dSP1
    dSP1
    Je te suggère de discuter suivant le degré du polynôme $aX^2+bX+c$.
    S'il est de degré $2$, alors la surjectivité de ton application équivaut à celle de
    $M \mapsto M^2$...
  • GreginUK
    GreginUK
    Ici, y avait écrit une c...plus grosse que moi, mais je l'ai effacée :D
  • GreginUK
    GreginUK
    Et donc ce message n'a plus lieu d'être...
  • egoroff
    egoroff
    Linéaire ?
  • gb
    gb
    GreginUK,

    Est-ce que le fait de traverser la Manche rend l'application $M \to aM^2 + bM + cI$, avec $a \neq 0$, linéaire ?
  • GreginUK
    GreginUK
    Ooooooups.....
    J'efface mes c....

    C'est plutôt le fait de faire mumuse avec la caractéristique 2 pendant 3 jours pleins :D tout est beau, plus d'erreurs de signes, des carrés qui deviennent linéaires...le bonheur!

    Il est temps que j'arrête :D
  • Michel Coste
    Michel Coste
    1) Est ce qu'une matrice nilpotente $N\in M_n(\mathbb{K})$, $n>1$, telle que $N^{n-1}\neq 0$ peut être un carré?

    2) Est-ce que $M\mapsto aM^2+bM+c$, $a\neq 0$, $n>1$ peut être surjective? (penser à compléter le carré).

    Cordialement,

    MC

    [oups, je pense que c'est ce que suggérait déjà dSP]
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