sous-espaces vectoriels

cordwainer · December 2007

Bonsoir
J'ai un espace vectoriel $E$, des sous-espaces vectoriels $F$, $G_1$, $G_2$ tels que $F \subset G_1 \cup G_2$, et il faut montrer que $F \subset G_1$ ou $F \subset G_2$.
Je n'y arrive pas, et ça m'énerve d'autant plus que je suis sûr que c'est de l'algèbre élémentaire !
Si vous avez des idées, je vous en voudrai et serai reconnaissant à la fois.

GreginUK · December 2007

Salut,

l'idée géométrique sous-jacente est la suivante. Si la réunion de deux droites (passant par 0) est un sous-espace vectoriel, alors les deux droites sont confondues.

Supposons que $F$ n'est pas contenu entièrement dans $G_1$ ou dans $G_2$. Il existe donc $v_1,v_2\in F, v_1\in G_1,v_1\notin G_2,v_2\in G_2,v_2\notin G_1$.

On sait que $v_1+v_2\in F$. Donc $v_1+v_2\in G_1$ ou $v_1+v_2\in G_2$.

Dans le premier cas, on en déduit facilement que $v_2\in G_1$, et dans le deuxième que $v_1\in G_2$, et donc une contradiction dans les deux cas, cqfd.

GERARD · December 2007

Bonjour.

D'abord éliminer le cas où G1 est contenu dans G2 (ou l'inverse).

Ensuite, par l'absurde, on peut trouver des éléments x et y de F tels que x est dans G1 et pas dans G2, et y dans G2 et pas dans G1.
Alors x+y est dans F mais ni dans G1 ni dans G2.

Cordialement

PB · December 2007

Supposons qu'il existe x et y appartenant à F tels que :

x appartient à G1 mais pas à G2.
y appartient à G2 mais pas à G1.

Posons z=x+y. Comme z appartient à F, il appartient à G1 ou à G2.
Dans chaque cas, tu devrais obtenir une contradiction...

GreginUK · December 2007

3 réponses identiques en moins de 3 minutes , quel succès!

GERARD · December 2007

Il va nous en vouloir !

cordwainer · December 2007

Mais non, mais non... Merci à tous les trois.

Ritchie · December 2007

Moi je trouve PB un peu plus lent que d'habitude en ce moment...

PB · December 2007

(:P)

sous-espaces vectoriels

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