Une grosse somme

Guego
Guego
dans Analyse
Bonjour,

En allant voir un renseignement sur le site de l'agreg, je suis tombé sur l'égalité suivante (sur la page d'accueil du site) :

$$\frac{1}{2\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{n}{sh(n\pi)} ch(n\phi) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{n}{sh(n\pi)} cos(n\phi) = 0$$

Quelqu'un sait d'où elle vient (comment elle se démontre) ?

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Peut-être avec ch(ix)=cos x ? Mais je ne vois pas pourquoi les deux sommes ne sont pas regroupées...
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Il me semble que si $\phi > \pi $, la premiere somme diverge.
  • Guego
    Guego
    Certes, mais quand $\phi<\pi$, est-elle bien vraie ? et pourquoi ?
  • bisam
    bisam
    Ca ressemble à une série de Fourier...
    Peut-être qu'en posant : $$f:x\mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n(-1)^n }{\sinh(n\pi)}\cosh(nx)$$ et en calculant sa série de Fourier, on arrive au résultat ?
  • bosio frederic0
    bosio frederic0
    Juste une remarque : Si l'egalite est juste (ce dont je n'ai pas de raison de douter), on peut dire, au vu de la convergence rapide de ses coefficients de Fourier vers 0, que la fonction $f$ (prolongee par periodicite a tout $\Bbb R $) doit etre de classe ${\cal C }^{\infty }$. Or, il n'est deja meme pas evident au vu de son expression qu'elle soit bornee pres de $\pi $.
  • B........t
    B........t
    J'utiliserais bien cette identité classique (:P) valable pour $x$ non entier et $\theta$ complexe de module strictement inférieur à $\pi$ :
    $$\frac{\pi}{x}\frac{\cos(\theta\pi)}{\sin(\pi x)}=\frac{1}{x^2}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k\cos(k\theta)}{k^2-x^2}$$
  • B......t
    B......t
    Scuzi, c'est cos(theta*x) dans le numérateur à gauche.
  • B.........t
    B.........t
    Lire donc :

    $$\frac{\pi}{x}\frac{\cos(\theta x)}{\sin(\pi x)}=\frac{1}{x^2}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k\cos(k\theta)}{k^2-x^2}$$
  • JJ
    JJ
    Bonjour,

    En passant par les séries de Fourier, et en travaillant "à la physicienne", c'était assez facile. Mais j'ai hésité à le mettre sur le forum car il y avait un passage scabreux, faisant intervenir la décomposition en série de Fourier de la fonction constante, ce que mes amis physisiens (et moi-même) faisons sans scrupule en d'autres circonstances.
    Finalement,ce problème délicat est évité dans la démonstration jointe, qui part, non pas de l'expression à démontrer, mais de l'une de ses primitives.
    7874
  • B........t
    B........t
    Bravo JJ.
  • B.....t
    B.....t
    Ce n'est pas sans rappeler certaines formules de Ramanujan, dont celle-ci valable pour un complexe $z$ suitable:

    $$\frac{\pi{e^{-2\pi{z}}}}{\cosh(2\pi{z})-\cos(2\pi{z})}=\frac{1}{4\pi{z^2}}-\frac{1}{2z}+\frac{\pi}{2}-2z\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^2+(z+n)^2}+8z^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(e^{2\pi{n}}-1)(4z^4+n^4)}$$

    Qui s'obtient en utilisant la méthode des résidus (Notebook II, p.291, Entry 24).
  • Guego_pas_loggé
    Guego_pas_loggé
    Effectivement, Bravo (et merci) JJ.
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