Panique chez les automorphismes

Je ne trouve pas l'énormité là-dedans (il y en a forcément une !)... j'ai un petit doute concernant le lien entre automorphismes et permutations, mais pourtant pour les groupes il s'agit bien de la même chose, c-à.d isomorphisme-sur-lui-même = permutation, non ?

Il me semble, par exemple, qu'un morphisme conserve l'élément neutre.
Une permutation quelconque n'est donc pas nécessairement un morphisme.

Pour finir sur une note optimiste, le point positif est que tu as remarqué que quelque chose clochait et que tu as trouvé où exactement par toi-même.

Je ne peux pas en dire autant de mes étudiants qui n'on aucun bon sens et ne sont pas choqués lorsqu'ils écrivent une égalité du type réel=vecteur ou lorsqu'ils trouvent des distances négatives.

Au secooours, je veux rentrer en Fraaaaance!!!!

SylowBoutLeMérouPète
\fbox{\parbox{12cm}{ $n!=|S_n|=|S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|\neq|Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|=|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*|=\varphi(n)$
}}

C’est $Card(\mathfrak{S}(\frac{\Z}{n\Z}))=Card(Aut(\frac{\Z}{n\Z}))$ qui est faux.
Une permutation de $\frac{\Z}{n\Z}$ n’en est pas un automorphisme de groupe, en général.
Un automorphisme est, au contraire, une permutation.

PB> je trouve tout de même très dangereux de dire qu'une action du groupe G sur un ensemble X revient à se donner un morphisme de G dans Aut(X) (au lieu de dire sagement de G dans S(X)), non ?
(par exemple, lorsqu'on fait opérer G sur lui-même par translation, c'est carrément catastrophique )

Relis la première réponse de PB, {\it La notion de morphisme (et donc d'automorphisme) dépend de la catégorie dans laquelle on se place (Ensembles, Groupes, Anneaux, Espaces topologiques, etc)}, que tu n'as toujours pas comprise, semble-t-il.

Si l'ensemble $X$ est muni d'une structure d'anneau, il y a un groupe additif sous-jacent. Il y a des automorphismes de $A$ en tant qu'anneau, des automorphismes de $X$ en tant que groupe, et des automorphismes de $X$ en tant qu'ensemble, avec :
$$\mathrm{Aut}_{Ann} \subset \mathrm{Aut}_{Gr} \subset \mathrm{Aut}_{Ens},$$
les inclusions étant généralement strictes (Calcule ces ensembles pour $\Z/3\Z$.

En tant qu'ensemble, les automorphismes de $X$ sont les permutations de $X$, on a toujours $\mathrm{Aut}_{Ens} = \mathfrak{S}_X$, et je suis d'accord avec GG pour dire que l'appellation "automorphisme d'ensemble" pour une "permutation" est très dangereuse.

Lorsque $G$ opère sur $G/H$ de cardinal $[S:H]$, on ne considère que la structure d'ensemble du quotient, et on se donne un morphisme de groupes de $G$ dans $\mathrm{Aut}_{Ens}(G/H) = \mathfrak{S}_{[G:H]}$.

Si $H$ est distingué, $G/H$ admet alors une structure de groupe un nouvel ensemble d'automorphismes $\mathrm{Aut}_{Gr}(G/H) \neq \mathfrak{S}_{[G:H]}$.

La situation est claire lorsque $H$ est réduit à l'élément neutre de $G$, donc $G/H = G$. Comme le dit encore GG : {\it lorsqu'on fait opérer G sur lui-même par translation, c'est carrément catastrophique}.

L'opération de $G$ sur lui-même par translation est l'application $\phi$ de $G$ dans $\mathrm{Aut}_{Ens}(G) = \mathfrak{S}_{G}$ définie par $\phi(g) : x \mapsto gx$. Il est clair que $\phi(g)$ est une permutation de $G$, mais pas un morphisme de groupe.

L'opération de $G$ sur lui-même par automorphismes intérieurs est l'application $\psi$ de $G$ dans $\mathrm{Aut}_{Gr}(G) \neq \mathfrak{S}_{G}$ définie par $\psi(g) : x \mapsto gxg^{-1}$. Il est clair que $\psi(g)$ est une permutation de $G$, mais aussi un morphisme de groupe.

je trouve tout de même très dangereux de dire qu'une action du groupe G sur un ensemble X revient à se donner un morphisme de G dans Aut(X) (au lieu de dire sagement de G dans S(X))

Je suis d'accord. J'étais toujours dans le contexte de mon premier message où j'indiquais en indice la catégorie considérée (Aut_Ens, Aut_Gr, Aut_Top, etc.). Ainsi, le Aut(X) de mon deuxième message désignait Aut_Ens(X), ou encore S(X).

Désolé d'avoir éventuellement semé la confusion avec mes notations.