des motivations dans l'enseignement des mahématiques

Commence par un bouquin de taupe, puis les deux Gourdon, le Perrin est plus difficile.
Sinon, trouve le bouquin mis en valeur sur la page de bienvenue du site.

Franchement, se tapper les Gourdon lorsqu'on a gouté le Hairer et Wanner, c'est juste prendre le risque d'une (grosse) déception ... Mais si tu y tiens, alors n'oublie pas d'avoir sous la main les 8 pages d'errata ...

J'ai acheté la première édition du Hairer et Wanner à sa sortie en 1996 (l'édition française doit être basée sur la seconde édition anglaise). L'intérêt du bouquin est qu'il suit en gros le fil de l'histoire (avec référence aux textes) et que les notions introduites sont motivées. Il ne part pas de la construction de $\mathbb{R}$ pour construire toute l'analyse suivant un ordre "logique", mais il part de problème de résolution d'équation et d'approximation en montrant les outils qui ont été développer et leurs limites, justifiant l'introduction de notions plus générales. Le bouquin est donc aussi rempli d'exemples autant calculatoires que théoriques. Pour autant, la rigueur mathématique n'est pas laissée de côté. A l'arrivée, cela donne un bouquin d'analyse de niveau L1-L2 très agréable à lire (du moins pour la version anglaise, je ne connais pas la version française).
Seul point faible, chaque chapitre ne contient qu'une grosse dixaine d'exercices (relativement faciles).

A noter que Godement en fait l'éloge dans l'introduction de son cours d'analyse (ça doit être dans le volume 1).


Pour le Tabashnikov, je n'ai fait que donner la référence, je ne le connais pas au-delà de ça.

"Ou comment on est passé de l'enseignement des mathématiques à l'enseignement d'une doctrine, le bourbachisme." :

c'est un propos plus polémique qu'intelligent..

Moi, j'ai vécu exactement le sentiment inverse : ayant fait ma 6ème la première (ou la deuxième ? je ne sais plus) année où a été introduite la fameuse réforme dite des "maths modernes", j'étais là-dedans comme un poisson dans l'eau, car, justement, c'était cette abstraction et cette rigueur qui me passionnaient.

Pensez donc, l'ensemble $\Z $ défini comme ensemble-quotient dès la classe de cinquième, rebelote avec $\Q $ en quatrième, la propriété des segments embôités (admise comme axiome..) pour introduire $\R $ en troisième, la strcuture d'espace vectoriel en seconde, les limites par $\varepsilon -\delta $ et le calcul matriciel en première et en terminale, le produit vectoriel en première, la construction de $\C $ par les matrices en terminale, et même, cerise sur le gâteau, des bases de filtres et des séries en Terminale (à titre facultatif tout de même..). Voilà des choses qui mettaient notre esprit en joie !

Il faut bien comprendre qu'à côté de ça, la physique, ça n'était pour nous que tours de magie et de passe-passe à la limite de la malhonnêteté intellectuelle : aucune forme de rigueur, des définitions à la va-comme-je-te-pousse, des tas de lois, principes, etc.. qu'on admet et qu'on ne se soucie jamais de justifier, aucun souci d'exactitude (on néglige toujours quelque chose)...etc..

Bref, pour nous, à côté des maths, la physique n'était pas loin d'être une activité sale et dégradante.

Je ne fais que présenter ce qui était à l'époque (1975,1976..) l'état d'esprit des lycéens assez bons en maths, mais qui était très certainement corrélé avec l'enseignement de la physique à l'époque.

Bien entendu, mon point de vue a évolué avec l'âge et je dois dire que je n'ai apprécié la physique que bien plus tard, quand j'ai commencé à comprendre que ça n'était pas des maths appliquées...

Mais je reste un boubakiste contrarié..

Nikos,

D'abord je ne sais pas ce que sont des "bourbakistes intégristes" (et si tu vises Jean Dieudonné, il va falloir muscler tes petits bras...) : il faut se méfier de ces anathèmes à la mode ("intégristes", "khmers rouges", "ayatollahs", etc..) qui portent en eux une violence qu'on pourrait suspecter de vouloir remplacer toute forme de pensée rationnelle.

Oui, je prenais du plaisir en classe de 5ème lorsqu'on expliquait les classes d'équivalence à l'aide de petites formes géométriques en plastique de toutes les couleurs.
Ces manipulations demandaient peut-être un petit effort d'abstraction, mais n'avaient rien d'un exposé magistral, formel et "compliqué" comme tu le caricatures par ignorance. Pour tout dire, on s'amusait drôlement bien.

Et, après, voir $\Z $ comme un ensemble de "droites" de $\N ^2 $, ça tombait tout seul comme un fruit mûr.

Et, en 4ème, nous n'étions pas surpris que les vecteurs du plan soient des classes d'équivalence pour la relation d'équipollence de bipoints.
Rien de "compliqué" là-dedans, puisque, je le répète, ça semblait "naturel" et "concret" à l'enfant que j'étais.

Certes, des élèves étaient déroutés par un tel enseignement, mais certainement pas plus (et, à mon avis, certainement moins) qu'aujourd'hui.
Le problème était le même : les mathématiques sont utilisées dans l'enseignement comme instrument de sélection scolaire et non comme une discipline intellectuelle à part entière, exactement comme l'était le latin il y a quelques dizaines d'années.
Maintenant c'est toujours pareil, sauf qu'on a commis l'erreur de diminuer drastiquement les exigences au prétexte qu'ainsi plus de monde pourrait arriver à un niveau scolaire et/ou universitaire donné : on déplore le résultat tous les jours.

Aleg,

Oui, comme je le dis, je n'ai pas vécu cette période dont beaucoup semble nostalgique. D'où une certaine ignorance. Mon expression "bourbakiste intégriste" est à prendre de la même manière que "bourbachique light" ou "bourbakiste contrarié". J'ai aussi employé cette expression parce que certains semblent considérer les "éléments de mathématiques" comme la bible, et gare à ceux qui oseraient la moindre critique. Je les ai feuilleté, ce sont de bons livres, mais il n'y a pas de quoi en faire un mythe. La démarche était certainement innovante pour l'époque (re-faire la même chose qu'Euclide avec les connaissances de l'époque si j'ai bien compris). On ne peut nier qu'ils ont influencé plusieurs générations de mathématiciens.
Par contre, quoi qu'on en dise, je trouve déplacer de parler de filtre en terminale, même à cette époque et en option.

Quant à Dieudonné, je n'ai aucune envie de m'attaquer à lui. Je sais juste qu'il avait une forte personnalité. Il est entre autre connu pour son "a bas les triangles", je pense que c'est assez réducteur. Pendant la prépa agreg, j'ai même utilisé ces livres d'analyse pour certaine leçon.

Sinon, c'est sur que j'ignorais qu'on pouvait construire des classes d'équivalence avec de petites formes géométriques. A coup sur, ça devait être très formateur. C'est toujours bon de mettre la main à la pate. Et vu sous cette angle, ça devait certainement être plaisant.

En ce qui me concerne, le contact avec les mathématiques modernes a été un peu brutal (surtout en sup) comme je l'ai raconté dans mon message précédent. D'où une certaine méfiance.

Aleg a écrit:

Certes, des élèves étaient déroutés par un tel enseignement, mais certainement pas plus (et, à mon avis, certainement moins) qu'aujourd'hui.
Le problème était le même : les mathématiques sont utilisées dans l'enseignement comme instrument de sélection scolaire et non comme une discipline intellectuelle à part entière, exactement comme l'était le latin il y a quelques dizaines d'années.
Maintenant c'est toujours pareil, sauf qu'on a commis l'erreur de diminuer drastiquement les exigences au prétexte qu'ainsi plus de monde pourrait arriver à un niveau scolaire et/ou universitaire donné : on déplore le résultat tous les jours.

Je suis complétement d'accord avec toi sur cela.

Le petit Nicolas qui comprend mieux ...

Il ne faudrait pas que la "quête du sens", de la "profondeur", des "clés" de lecture, et la question du "pourquoi" prennent une importance quasi-mystique qui raménerait les mathématiques plusieurs siècles en arrière..

C'est quoi le rapport pioupiou ?

C'est pas faux.

Bien vu pour le trollage!
Visiblement les derniers intervenants n'ont retenu que la dernière phrases d'Aleg et n'ont fait aucun effort pour replacer les choses dans leur contexte. On en est revenu au débat de qui a la plus longue.
J'ai beaucoup de respect pour Aleg et notamment pour ses interventions sur le forum. Mais est-ce pour autant que je dois partager ses points de vue et être toujours d'accord avec lui? Le but de cette discussion n'est pas de le mettre en difficulté, mais d'échanger des points de vue et de discuter des idées.

Pour en revenir à la quête de sens, je partage le même point de vue que phymu. N'est-ce pas prendre les élèves pour des imbéciles que leur demander d'apprendre des choses sans broncher et en sous entendant que c'est comme ça vous devez le faire?

Je ne m'étend pas trop non plus puisque le débat prend une mauvaise tournure.

Le petit Nicolas qui en marre des Trolls.

Il serait donc hérétique et contraire aux bonnes mathématiques de parler de sens ?^

Mais c'est plutôt ce genre de phrases qui me semblent dépourvues de tout sens !

Remplacer les vraies explications par des explications métaphoriques, c'est-à-dire bidons, cela revient à l'enseignement de la physique. Tu t'es trompé de discipline, je pense.

J'avais envoyé ce message ce matin mais il n'est pas passé. Je retente maintenant...

phymu,
je pense que tu ne t'en es pas rendu compte, mais personnellement j'ai trouvé ton premier message particulièrement blessant. D'autant plus que tu débarques en employant exactement le vocabulaire et les concepts que les enseignants ont subi de leurs formateurs IUFM (et d'après ce que j'ai compris ils sont assez souvent déconnectés de la réalité, peu au contact des élèves et leur conseils ne sont pas en rapport avec la réalité du terrain). Ceci pour tenter d'expliquer la réaction un peu épidermique des participants.

Ensuite, pour être un peu plus constructif, je me retrouve complètement dans ton premier message, à ceci près qu'il faut échanger les mots mathématiques et physique... et bien entendu les noms des bouquins. J'ai par exemple lu une partie de cours de Feynmann quelques années après ma prépa et moi aussi je me suis dit "si on m'avait expliqué comme ça, j'aurais compris". Mais en y réfléchissant un peu plus, j'ai compris deux choses : d'une part, même si je comprend ce que raconte Feynmann, je ne suis pas pour autant capable de faire la même chose face à un exo et d'autre part, si j'arrive à suivre c'est probablement parce que j'avais eu un premier enseignement de physique qui avait en quelque sorte déblayé le terrain (je comprenais du coup qu'il faille faire le bilan des forces, chercher des quantités invariante, déterminer les paramètres du système, linéariser ou que sais-je encore).

Pour l'exemple que tu évoques (algèbre linéaire et électromagnétisme), je vois par exemple quelques obstacles qui font que j'hésiterais à en parler directement :
- je ne connais pas très bien l'électromagnétisme, mais mes élèves ne le maitrisent pas très bien non plus je crois, je ne suis donc pas sûr que faire le lien serait très éclairant pour eux (et d'expérience, je dirai que le coté "auto-contenu" des maths leur plait assez),
- la première notion que j'aborde (après la définition d'un espace vectoriel) est celle de sous-espace vectoriel, je n'ai jamais vu un physicien utiliser explicitement,
- si l'on veut faire le lien avec la physique, il me semble qu'il faut expliquer que cette notion de linéarité s'y retrouve. Mais comment sait-on (ou voit-on) qu'un problème physique est de nature linéaire ? (je veux dire, autrement qu'en constatant que les équations sont linéaires, mais là on tourne un peu en rond),
- quel est l'intérêt de constater qu'un problème physique est linéaire ? Je veux dire, des étudiants de première année en fin de premier trimestre ont-ils perçu la profondeur physique de cette notion ?

Ceci dit, pour répondre au "à quoi ça sert" des étudiants, je leur avait concocté un sujet de DM où l'on faisait appel aux techniques d'algèbre linéaire pour étudier le comportement d'un système de ressorts (je le joindrai si ça marche mais c'est peut-être ce qui a posé pb ce matin). Mais pour pouvoir voir tout ceci "en action", il fallait bien que les notions aient été introduites avant.

Je ne vous apprendrai pas que Phymu a un allié de choix dans la personne de Henri Poincaré (excusez du peu!) :

"les débutants ne sont pas préparés à la véritable rigueur mathématique ; ils n'y verraient que de vaines et fastidieuses subtilités ; on perdrait son temps à vouloir trop tôt les rendre plus exigeants ; il faut qu'ils refassent rapidement, mais sans brûler d'étapes, le chemin qu'ont parcouru lentement les fondateurs de la science. Pourquoi une si longue préparation est-elle nécessaire pour s'habituer à cette rigueur parfaite, qui, semble-t-il, devrait s'imposer naturellement à tous les bons esprits ? C'est là un problème logique et psychologique bien digne d'être médité.
(La science et l’hypothèse)

"Problème logique et psychologique" dont semble-t-il on a fait fi depuis belle lurette dans l'enseignement des mathématiques.
Pour ma part, je partage tout à fait l'avis de Phymu.

Amicalement

Rudy