Groupe hypercyclique

Hello,

1) Tout groupe abélien est somme directe de ses $p$-Sylow. ici les Sylow sont d'ordre $2,7,13$ car $182=2.7.13$. Mais $p=2,7,13$ est premier. Le seul groupe d'ordre $p$ étant cyclique, on conclue facilement.

Dans ce cas , on obtient le groupe que tu cites, qui est soit dit en passant isomorphe à $\mathbb{Z}/182\mathbb{Z}$.


2) Si le $7$-Sylow $H_7$ est unique, il est donc normal (car tous les Sylows sont conjugués).
Donc, s'il intersecte trivialement le $13$-Sylow $H_{13}$, alors leur produit est le produit semi-direct de $H_7$ par $H_{13}$.

Mais $H_7\simeq \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et $H_{13}\simeq \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$.

La conjugaison induit un morphisme $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}\to Aut(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
Ce morphisme est nécessairement trivial car $13$ et $6$ sont premiers entre eux, donc $H_7\simeq \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et $H_{13}\simeq \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ commutent, et donc le produit est direct. Comme $7$ et $13$ sont premiers entre eux, ton produit est isomorphe à $\mathbb{Z}/91\mathbb{Z}$.

3) Si tous les $p$-Sylows sont cycliques, et donc par définition premiers entre eux $2$ à $2$, alors tout groupe est en fait cyclique !!!!
Et comme tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique...

1) Y a , a priori, pas moyen de faire autrement, à moins de refaire une démonstration du théorème de structure des groupes abéliens finis à la main.

2) Appelons $\phi$ le morphisme en question. Je reste en notation additive.

Alors $13.\phi(\bar{1})=\phi(\bar{13})=\phi(\bar{0})=0$. Donc $\phi(\bar{1})$ est d'ordre 1 ou 13. Comme il n'y a pas d'éléments d'ordre 13 dans un groupe d'ordre 6, $\phi(\bar{1})=0$ et par suite $\phi(\bar{m})=\phi(m\bar{1})=m\phi(\bar{1})=0.$

Dire que le morphisme induit par la conjugaison est trivial, c'est dire que les elements commutent...

3) Par définition d'un $p$-Sylow, son ordre est la plus grande puissance de $p$ divisant l'ordre du groupe. Comme des puissances de nombres premiers differents sont des entiers premiers entre eux, on a le resultat.

Bonjour,

en complément :
Soit $G$ d'ordre $2\times 7\times 13$. $G$ possède un unique $7$--Sylow
$H$. Soit $K$ un $13$--Sylow de $G$. Alors $HK$ est un sous-groupe de
$G$ d'ordre $7\times 13$ distingué dans $G$ car d'indice 2. En outre
c'est le seul sous-groupe d'indice 2 dans $G$ (car 2 et $7\times 13$
sont premiers entre eux). Si maintenant $K'$ est un autre $13$--Sylow
de $G$ on a $HK=HK'$, d'où $K=K'$, car un groupe d'ordre $7\times 13$
possède un seul $13$--Sylow. Ainsi $K$ est distingué dans $G$, et comme
$H\cap K=\{1\}$, les éléments de $H$ commutent avec les éléments de
$K$ et le groupe $P=HK$ est cyclique d'ordre $91$. Si $L$ est un $2$--Sylow
de $G$, $G$ est produit semi-direct de $P$ avec $L$

Amicalement
Omar

Non, c'est faux. La relation de normalité n'est pas transitive (j'ai la flemme de chercher un contre-exemple, désolé). D'ailleurs, si le 13-Sylow était unique, ton groupe $G$ serait nécessairement abélien d'après ce qui précède. Enfin, je ne vois pas a priori pourquoi $H_7H_{13}$ serait normal dans $G$ de toute façon.

Bonjour GreginUk,

$H_7H_{13}$ est bien normal dans $G$ car il est d'indice 2 et, comme je l'ai montré,
il n'y a bien qu'un seul $13$--Sylow dans $G$.

Un groupe d'ordre 182, non commutatif, peut posséder un unique sous-groupe d'ordre
13, par exemple le groupe diédral $D_{91}$.

Amicalement
Omar

Bonjour,

Le groupe est résoluble car $H_7H_{13}$ est abélien avec un quotient $G/H_7H_{13}$ abélien. Pour la non nilpotence, j'ai l'intuition que la suite centrale descendante
se termine en $H_7H_{13}$, mais je ne l'ai pas vérifié...

Omar

Bonjour SylowBoutLe...

Considère l'action de $G$ sur $ Syl_p(G)$ par automorphisme intérieur.
Puisque tous les $p$-Sylow sont conjugués, il n'y a qu'une orbite : $ Syl_p(G)$.
Le stabilisateur de $H\in Syl_p(G)$ est précisément $N_G(H)$
Tu as alors $|G| = |Stab_G(H)|\cdot|Orb(H)| = |N_G(H)|\cdot |Syl_p(G)|$.
D'où $|Syl_p(G)| = [G : N_G(H)]$

Alain

Re-bonjour SylowBoutLe...
Tu écris : \begin{quote}
Les Sylow sont un peu déroutant au début, mais au bout d'un moment ils se laissent apprivoiser finalement...\end{quote}
Ravi de te l'entendre dire C'est souvent comme ça pour beaucoup d'objets mathématiques ...
\begin{quote}
On peut dire que tout élément d'un groupe est dans exactement un p-Sylow, donc ils sont toujours en produit ou somme directe alors si j'ai bien compris ? \end{quote}
Pour les groupes commutatifs (finis) oui, et plus généralement les groupes nilpotents (finis) : ceux qui sont précisément produits directs de leurs $p_i$-Sylow.
Dans le cas général, c'est souvent plus compliqué. Un groupe fini ne se décompose pas toujours en produit direct ou même en produit semi-direct. Pense aux groupes simples non commutatifs (ceux qui n'ont aucun sous-groupe distingué non triviaux).

Alain