Série des inverses des nombres premiers

C'est un sujet maintes fois abordé sur le forum.

Le TNP, effectivement, implique l'équivalent à l'infini : $p_n \sim n \ln n$, et la divergence de la série des inverses des nombres premiers en découle de façon évidente.

Ceci dit, cette divergence est un phénomène moins fort que le TNP, et peut se démontrer indépendamment, heureusement, car elle n'implique "que" l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.

Il faut toutefois noter que cette démonstration (de l'infinitude), via cette série, est due à Euler et est considérée comme le premier véritable calcul de théorie analytique des nombres.

Quelques années plus tard, Dirichlet a repris (brillamment) cette idée, et l'a généralisé aux nombres premiers en progressions arithmétiques.

Puis, encore quelques années plus tard, le mathématicien norvégien Viggo Brun a également repris cette idée, et, via son crible combinatoire, a montré que la série des inverses des premiers jumeaux est convergente.

Bref, une idée simple, mais très riche !

Enfin, je rappelle à ceux que cela intéresse que l'on a maintenant de bonnes estimations explicites de $p_n$, que j'ai déjà donné ici plusieurs fois (voir aussi les travaux de P. Dusart, 1999).

Borde.

Merci à toi, Bernard.

Borde.

Je viens de regarder la page 68 de mon Borde, la preuve de $p_n \sim n\ln(n)$ n'est pas si claire que ça pour moi.
Je reprends, pour commencer on utilise le fait que $n=\pi(p_n) \sim \frac{p_n}{\ln(p_n)}$. On en déduit que
$$p_n \sim n \ln(p_n)$$
Pour conclure, il reste à montrer que $\ln(p_n) \sim \ln(n)$.
Et je ne vois pas comment on peut faire et ni comment l'encadrement ($n < p_n< n^\frac{3}{2}$) de la page 68 peuvent y aider.
Merci d'éclairer ma lanterne,

Niko

Bonsoir, Borde a dit au début qu'on pouvait montrer la divergence de la série $\sum\limits_{n \leq 1} \frac{1}{p_n}$ sans TNP, on peut même avoir un équivalent des sommes partielles.

Et je le "prouve" : (en admettant un théorème de Mertens, pas évident mais faisable, en tout cas beaucoup moins dur que le TNP et un peu moins que les inégalités de Tchebycheff ; enfin bref le voici $\sum\limits_{n \leq x}^{} \frac{\ln(p_n)}{p_n} = \ln(x)+O(1)$)

Alors en écrivant stupidement $\sum\limits_{n \leq x} \frac{1}{p_n} = \sum\limits_{n \leq x} \frac{\ln(p_n)}{p_n}\frac{1}{\ln(p_n)}}$ puis en utilisant une transformation d'Abel, on trouve que notre somme est équivalente à $\ln(\ln(n))$

gb> J'ai bien saisi l'histoire de la bijection, comme tu dis, il s'agit de trouver un équivalent de $f^{-1}$ en l'infini. Je ne connais pas les techniques de calcul classique pour ce genre de truc, surtout depuis que j'enseigne en collège. Peut-être qu'on peut commencer par se ramener à un voisinage de 0 en posant $g(x)=f(\frac{1}{x})$ ? J'y réfléchirai en fin de matinée après une bonne nuit.

Borde> Merci pour les précisions. Effectivement, l'encadrement du corolaire suffit pour montrer la divergence de la série, ou plus exactement la minoration.
Sinon, je comprend tout à fait que le TNP ne soit pas dans ton livre ou peut-être en annexe avec les grandes étapes de la démo.

Amicalement,
Nikos

Salut Nikos,

Concernant le TNP, si cela n'avait tenu qu'à moi, j'aurais sans doute mis au moins sa forme faible (avec équivalent) dans le livre. D'ailleurs, j'ai fait en sorte qu'au moins un exo l'utilise (car il est inconcevable de faire de la TAN sans lui).

Ceci dit, il y a plusieurs raisons qui m'ont fait abandonner ce projet :

(i) Plusieurs livres (connus ou non) ont déjà traité le TNP en long et en large, et ce de façon très satisfaisante dans (presque) tous les traités que j'ai lu.

(ii) Pour des raisons de ciblage du livre par rapport à un niveau d'enseignement, je me suis contenté d'établir les inégalités de Tchebichef, qui, elles, peuvent donner lieu à d'excellents problèmes de prépas.

(iii) Chaque auteur devant démontrer le TNP se trouve confronté à la méthode utilisée, c'est d'ailleurs un peu le même problème que les agrégatifs lorsqu'ils présentent leur leçon : selon l'objectif souhaité (TNP faible ou fort ? Avec quel terme d'erreur s'il y en a un ? etc), les bases de la démonstration changent radicalement.

A titre d'exemple, j'avais proposé ici-même une preuve analytique (suite à une demande d'un intervenant) en 5 lemmes, dont un seul est démontré (une sommation partielle, outil qui figure aussi dans le bouquin). Autrement dit, le TNP repose sur 4 lemmes analytiques énoncés sans preuve. Impossible de faire cela dans un livre digne de ce nom.

Borde.

(Re)salut,

Tu as via le TNP : $$n = \pi(p_n) = \frac {p_n}{\ln p_n} \left ( 1 + o(1) \right),$$ de sorte que : $$p_n = n \ln(p_n) + o(n).$$ En remplaçant cette estimation dans le logarithme, il vient : $$p_n = n \ln \left ( n \ln (p_n) + o(n) \right ) + o(n) = n \ln n + n \ln \left ( \ln p_n + o(1) \right ) + o(n) = n \ln n + O \left ( n \ln \ln n) = n\ln n + o(n \ln n).$$

Borde.

Oui, c'est quelque chose que l'on fait souvent, effectivement (tu auras aussi remarqué que je n'utilise jamais la notation $\sim$, plus dangereuse à manipuler qu'une égalité, me semble-t-il, et comme $f \sim g$ équivaut à $f=g(1+o(1))$, inutile de se priver d'une bonne vieille égalité).

Borde.

D'accord Said1, d'ailleurs une dizaine de messages plus haut, je cherchai comment montrer que $\ln(p_n) \sim \ln(n)$ et c'est fourni par le 2.
Borde, je suis d'accord avec toi sur les $\sim$. Sinon, ton parenthésage est faux dans ta bonne vieille égalité

Nikos

Comment ça ? N'a-t-on pas $ f \sim g \Longleftrightarrow f - g = o(g)$ ?

Si bien sûr, mais j'ai mal interprété les parenthèses dans la première bonne vieille égalité. Désolé :S
Par $g(1+o(1))$ , j'ai compris sur le coup "image de $1+o(1)$ par $g$ ", d'où ma remarque. Ca doit être l'habitude de le voir sous la deuxième forme. Voilà, c'était histoire de faire remarquer ce que j'ai pris pour une erreur de frappe.
De toutes les façons, c'est un detail sans grand intérêt.

Nikos