séparabilité et l infini

Bonjour

Comment démontrer que $\l^{\infty}$ des suites bornées (sur $\R$ ou $\C$) est non séparable tandis que l'espace des suites convergentes $c$ et celui des suites convergeant vers 0 $c_0$ le sont.
J'ai vu dans le Brezis une méthode pour $L^{\infty}$ ou l'on exhibe un ensemble non dénombrable d'ouverts disjoints (non vides!). Zuily Queffelec énonce le résultat mais je n'y ai pas vu de preuve, je n'ai rien vu sur le sujet dans le Chamber Loir etc
Peut-on adapter cette méthode au cas qui nous intéresse ?

Réponses

  • Salut e,

    Pour moi le plus simple pour montrer la non-séparabilité d'un espace $E$ c'est de trouver une famille indénombrable $F$ de points de $E$ telle que $x,y \in F, \, x \neq y \, \Rightarrow \, d(x,y) \geq a$ où $a>0$ est uniforme. Ca marche très bien pour $L^{\infty}$ d'un ntervalle ou d'un ouvert et pour $\ell^{\infty}$, en prenant dans tous les cas pour $F$ un ensemble d'indicatrices (des suites ou des fonctions à valeurs dans $\{0,1\}$). Je te laisse chercher un peu.

    L'espace $c_0$ est séparable car on peut "oublier les queues de suite" et faire comme si on avait des suites à support fini, et alors ce n'est plus trop dur. Donc onmontre d'abord que que $\R[X]$ est dans $C_0$ et ensuite que $\Q[X]$ l'est.

    Enfin on voit facilement que $c=c_0 \oplus \R$ et on connaît une partie dense dénombrable de chacun des termes de la somme directe.
  • Si je considère la famille $1_{x} x\in \R$ non dénombrable d'indicatrices et les suites "à paramètre" associées: $(1_{x}(n))_{n\in \N}$ dont je note $u^{x}_n}$ le terme générique pour nous rappeler qu'il sagit de suites. Je mets le x en exposant pour éviter d'imaginer qu'il s'agit d'un un indice de suite (il s'agit de l'indice de la famille non dénombrable)
    si x et y sont des entiers p et q distincts on a:$||u^{x}-u^{y}||_{\infty}\geq |u^{x}_{p}-u^{y}_{p}|=1-0=1$
    si l'un des deux nombres x ou y (disons x) est un entier $n_0$ (disons x)et l'autre non alors entieralors $||u^{x}-u^{y}||_{\infty}\geq |u^{x}_{n_0}-u^{y}_{n_0}|=1-0=1$

    si les deux nombres x et y ne sont pas entiers alors les suites associées sont nulles et la distance est nulle. Zut ça coince dans ce cas.
  • Oui en fait la partie intéressante de ta famille est formée des $1_n$ pour $n$ entier...

    Donc il faut regarder au-delà des singletons.
  • Bonjour,

    Je crois que tu penses que $\ell^\infty$ est un ensemble de suites indexées par $\R$ ou $\C$, alors que ce sont des suites indexées par $\N$ (à valeurs dans $\R$ ou $\C$).

    Chaque partie $A$ de $\N$ définit une suite $s(A)$ (son indicatrice sur $\N$) dans $\ell^\infty$ (mais pas dans $c_0$ sauf si elle est finie).

    Si $A\ne B$, quelle est la distance de $s(A)$ à $s(B)$? Rép.1.

    L'ensemble des parties de $\N$ est non dénombrable. Donc $\ell^\infty$ est non séparable.


    Amicalement,
    Georges
  • $c_0$ est séparable parce que c'est la fermeture de l'espace des suites à support fini, qui est clairement séparable (prendre les suites à support fini à valeur dans $\Q$).
    On en déduit la séparabilité de l'espace des suites convergentes puisque si $c_q$ désigne l'espace des suites de limite $q$, on trouve $\displaystyle c=\overline{\bigcup_{q\in\Q}c_q}$.
  • Merci Georgez
    tu ne m'auras pas tellement laissé le temps de réfléchir!
    Le coup du $\mathcal{P}(\N)$ est non dénombrable c'est bête mais si efficace!
    Moi avec des parties réduites à un point je n'étais pas arrivé!

    Merci Corentin

    Sinon:
    1°)La méthode de Brézis donnerait quoi dans notre cas (famille non dénombrable d'ouverts disjoints non vides)
    2°)connaissez vous un ouvrage traitant (entre autre) de ces problèmes de séparabilité)
  • Bonjour e=mc3,

    Je regrette de ne pas avoir attendu assez longtemps pour t'aider (je croyais que tu te trompais sur la définition de $\ell^\infty$).

    Trouver une famille non dénombrable de points tels que la distance d'un quelquonque de ces points à tous les autres est $>0$ est équivalent à la méthode de Brezis.
    C'est la méthode classique.

    De même, pour montrer qu'un espace métrique $X$ est séparable, on applique la définition (on trouve une partie dénombrable dense dans $X$). C'est ce que Corentin a fait pour montrer que $c_0$ et $c$ sont séparables.

    Amicalement,
    Georges
  • Salut,

    Pas mal d'exemples dans Foundations of Modern Analysis (partie espaces réflexifs, etc ...) mais c'est pas forcément structuré. Sinon, moi aussi je serais intéressé par une sorte d'anthologie sur le sujet ...
  • Anthologie sur le sujet : Classical Banach spaces I et II de Lindenstrauss et Tzafriri
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