nombre premier

Jean-Luc3 · September 2007

Bonjour,
je cherche à montrer que les nombres premiers supérieurs à 3 sont de la forme 6n+1 ou 6n+5. Je comprends que dans ce cas ils ne sont divisibles ni par 2 ni par 3, mais je ne sais pas comment montrer que si on ajoute n'importe quel nombre premier qui ne soit divisible ni par 2 ni par 3 à 6n on a forcément un nombre de la forme sus mentionnée. (par exemple, 6n+11= 6(n+1) + 5).
Merci pour votre aide.
Jean-Luc

ryo · September 2007

Salut,
Par l'absurde soit $p>3$ un nombre premier qui s'écrive $p=6n+2$
Alors $2|p$ donc $p$ étant premier on a $p=2$ : absurde $p>3$

de meme pour les autres

Finalement ce qui fait marcher les choses c'est ta phrase : "je [...] de la forme 6n+1 ou 6n+5. Je comprends que dans ce cas ils ne sont divisibles ni par 2 ni par 3"

Madvin · September 2007

Salut,

Tous les entiers naturels peuvent s'écrire sous l'une et une seule des formes suivantes :
$6n+0$
$6n+1$
$6n+2$
$6n+3$
$6n+4$
$6n+5$

avec n un entier naturel.

Il suffit d'analyser chacune d'entre elles et démontrer celles qui ne peuvent pas générer de nombres premiers.
Quant aux autres restantes, il suffit de montrer qu'elles peuvent générer au moins 1 nombre premier, en en donnant 1 justement.
Et puis ensuite... le tour est joué...

@+

jean-luc1 · October 2007

Merci beaucoup pour votre aide, finalement rien de très compliqué.
Merci encore.
Jean-Luc

Jules Renucci · October 2007

Peut-être encore plus simple :
Ecris les trois nombres consécutifs (p-1), p, (p+1) avec p premier

L'un des nombres (p-1) ou (p+1) est nécessairement multiple de 3 et de 2 donc de 6

si p-1=6k alors p=1+6k

si p+1 = 6k alors p= 6k-1 qui peut s'écrire p =6k+5-6 =6(k-1)+5

nombre premier

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