Groupe symétrique

Popolpot
Popolpot
dans Algèbre
Bonjour

Mes questions concernent le groupe symétrique $\frak S_{n}$, et plus particulièrement les classes de conjugaisons.
Je sais que la classe de conjugaison d'une transposition est caractérisée par le type de sa décomposition en produit de cycles disjoints.
Est-ce que ça veut dire par exemple que la classe de conjugaison de 5-cycles de $\frak S_{5}$ est formé de tous les 5-cycles à savoir
$$\{(1,2,3,4,5),(1,2,3,5,4),(1,2,4,3,5),\cdots\}$$
Et par ailleurs comment montrer que si un sous groupe distingué de $\frak A_{5}$ contient un 5-cycle, alors il les contient tous ? Je pensais me servir du résultat précédent : S'il contient un 5-cycle et que $H$ est distingué il contient toute la classe de conjugaison donc tous les 5-cycles mais je ne suis pas sûr car avant on était dans $\frak S_{5}$ donc je ne sais pas si les classes de conjugaison de $\frak A_{5}$ sont caractérisées de la même manière.

Merci

Réponses

  • ryo
    ryo
    Pour la première question oui ; deux éléments conjugués dans $S_5$ sont du meme "type"



    Pour la deuxième question :
    Soit $H$ un sous-goupe distingué de $A_5$
    Si $H$ contient un élément d'ordre $5$ (ie un $5$-cycle) alors il contient le $5$-Sylow engendré par cet élément
    Or le théorème de Sylow assure que tous les $5$-Sylow sont conjugués
    Donc $H$ contient tous les $5$-Sylow donc tous les éléments d'ordre $5$
  • ryo
    ryo
    J'ai oublié de dire : ce que tu proposes ne vas pas pouvoir marcher : les éléments d'ordre $5$ ne sont pas conjugués dans $A_5$.
    S'ils l'étaient, alors ils formeraient une orbite pour l'action de conjuguaison et leur nombre diviserait $60$. Or il y en a $24$

    Et c'est bien sur valable pour un sous groupe du groupe alterné
  • -Omar-
    -Omar-
    Bonjour,

    En complément, on a le résultat suivant : si $H$ est un sous-groupe d'un groupe $G$
    fini, d'indice 2 (donc distingué dans $G$) et si $x\in G$ possède $n$ conjugués dans $G$, il en possède soit $n$, soit $n/2$ dans $H$.

    Amicalement
    Omar
  • Popolpot
    Popolpot
    merci pour ces réponses

    donc j'avais bon pour mon histoire de 5-cycles c'est déja ca

    par contre si vous aviez une démonstration du deuxième point qui ne fait pas appel au théorème de Sylow je serais ravi
  • -Omar-
    -Omar-
    Bonjour,

    Le groupe $A_5$ est simple. Ses seuls sous-groupes distingués sont $(1)$ et lui-même.
    Mais peut-être ne pouvez-vous pas appliquer ce résultat ?

    Amicalement
    Omar
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Peut-être parce que c’est ce qu’il veut démontrer.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Popolpot
    Popolpot
    il me semble en effet que ce résultat sert à démontrer la simplicité de A5 donc on n'a pas le droit de s'en servir

    et par ailleurs je pose cette question parce que j'ai lu dans un rapport d'agreg externe qu'on n'est pas obligé de se servir de Sylow pour montrer ce résultat

    alors comme je ne sais pas comment m'y prendre (j'ai jamais bien su manipuler les permutation il faut dire) je cherchais quelqu'un qui avait peut etre la réponse toute cuite a me vendre
  • ryo
    ryo
    Je l'ai lu aussi, mais je ne sais pas non plus comment faire sans Sylow.

    Et je serais aussi interessé par une indication de preuve du résultat de 11h11 de Omar (sur le nombre de conjugués d'un sous-groupe d'indice 2 d'un groupe fini) si c'est possible.
  • -Omar-
    -Omar-
    Re bonjour,

    Soit $\sigma\in H$ un 5--cycle. Alors $\sigma$ et $\sigma^2$ ne sont
    pas conjugués dans $\mathfrak{A}_5$. Si $\tau$ est un autre 5--cycle,
    soit $\tau$ est conjugué à $\sigma$ soit $\tau $ est conjugué à $\sigma^2$
    (car les 5--cycles forment 2 classes de conjugaison dans $\mathfrak{A}_5$).
    Si $H$ est distingué dans $\mathfrak{A}_5$, on a alors $\tau$ dans $H$
    et $H$ contient tous les 5--cycles, s'il en contient un.

    Amicalement
    Omar
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