somme série

Salut, pour $a \not\in \Z$, on a $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2-a^2}=\frac{1}{2a^2}- \frac{\pi.\mathrm{cotan}(a\pi)}{2a}$$
Pour montrer ca, on prend $f(x)=e^{iax}$ qu'on coupe avec l'indicatrice de $[-\pi, \pi]$ et qu'on prolonge par $2\pi$-périodicité, on la développe en série de Fourier et $f$ est égale à sa série de Fourier en utilisant un des critères classiques, corolaire de Fejer.
Et donc on obtient $$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{a^2k^2-1}=\frac{1}{2}\Big(1-\pi.\mathrm{cotan}\big(\frac{\pi}{a^2}\big)\Big)$$

Sauf erreurs

[En LaTeX, c'est \verb=\cot= mais si tu y tiens, tu peux toujours écrire \verb=\mathrm{cotan}= AD]