Dév asymptotique de série harmonique (2ème terme)

Par la formule d'Euler-MacLaurin à l'ordre $2$, on a : $$\sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} = \int_{1}^{n} \frac {dt}{t} + \frac {1+1/n}{2} + \frac {B_1}{2} \left ( 1 - \frac {1}{n^2}\right ) - \int_{1}^{n} \frac {B_3(t)}{t^4} \, dt = \ln n + \frac {1}{2} + \frac {1}{2n} + \frac {B_1}{2} \left ( 1 - \frac {1}{n^2}\right ) - \int_{1}^{n} \frac {B_3(t)}{t^4} \, dt,$$ où $B_1 = \dfrac {1}{6}$ est le $1$er nombre de Bernoulli et $B_3(t) = \left \{ t \right \}^3 - \dfrac{3 \left \{ t \}^2}{2} + \dfrac {\{t\}}{2}$ est la $3$ème fonction de Bernoulli. On fait tendre $n$ vers $\infty$ ce qui donne : $$\gamma = \frac {1}{2} + \frac {1}{12} - \int_{1}^{\infty} \frac {B_3(t)}{t^4} \, dt,$$ et ainsi : $$\sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} = \ln n + \gamma + \frac {1}{2n} - \frac {1}{12 n^2} -\int_{n}^{\infty} \frac {B_3(t)}{t^4} \, dt$$ et, en utilisant le fait que $|B_3(t)| \leqslant \frac {\sqrt 3}{36}$, on obtient : $$\left | \int_{n}^{\infty} \frac {B_3(t)}{t^4} \, dt \right | \leqslant \frac {\sqrt 3}{108 n^3},$$ puis finalement : $$\sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} = \ln n + \gamma + \frac {1}{2n} - \frac {1}{12n^2} + O \left ( \frac {1}{n^3} \right ).$$

Borde.

Ou avec Maple qui donne un développement pour les fainéants : $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}=\ln(N)+\gamma+\frac{1}{2N}-\frac{1}{12N^2}+\frac{1}{120N^4}-\frac{1}{252N^6}+\frac{1}{240N^8}+O(\frac{1}{N^{10}})$