Convergences de séries

bonjour $\alpha \beta $,
pour ta question (la convergence de $\Sigma b_n$ entraîne-t'elle la convergence de $\Sigma a_n$ ?), la réponse est oui :

supposons en effet que $\Sigma a_n$ diverge, alors (en notant évidemment $S_n$ la somme partielle d 'ordre $n$ de la série $\Sigma a_n$), on aurait, pour $m$ et $n$ entiers
$$\frac{a_{n+1}}{S_{n+1}}+\frac{a_{n+2}}{S_{n+2}}+\cdots +\frac{a_{n+m}}{S_{n+m}}\geq \frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+m}}{S_{n+m}}=\frac{S_{n+m}-S_n}{S_{n+m}}$$
Comme
$$\lim_{m\to +\infty }\,\frac{S_{n+m}-S_n}{S_{n+m}}=1$$
la suite des sommes partielles de la série $\Sigma b_n$ n'est pas une suite de Cauchy, d'où la divergence de la série $\Sigma b_n$.

De façon plus générale, j'ajoute que, toujours sous l'hypothèse de divergence de $\Sigma a_n$, on peut montrer que la série
$$\sum \,\frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha }}$$
converge ssi $\alpha >1$.

Grillé de quelques secondes seulement. Pas grave Corentin, car AlphaBeta semble avoir laissé tomber son fil..