Transformation géométrique

Une transformation affine est une transformation projective laissant le plan a l'infini invariant.

Si $\left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right )$ est la matrice d'une transformation linéaire, alors elle s'écrit en coorodonnées homogènes :

$$\left ( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right )$$

Pour une rotation plane, tu as :

$$\left ( \begin{array}{ccc} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right )$$

et pour une mise a l'echelle de rapport $a$, $b$ et $c$ :

$$\left ( \begin{array}{cccc} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 &0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{array} \right )$$

Maintenant, comment a-t-on une matrice d'une application affine :
Soit $M(x,y)$ et $M'(x',y')$ son image par la transformation affine $f$. soit $\overrightarrow{f}$ l'application linéaire associée de matrice $A=\left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right )$.

Dans la base $\left ( \overrightarrow{\imath} , \overrightarrow{\jmath} \right )$ associée au repère $\left ( O, \overrightarrow{\imath} , \overrightarrow{\jmath} \right )$,nous avons, en vectoriel :
$ \left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right )= A \times \left ( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right )$.

En affine, nous avons $\overrightarrow{f(O)f(M)}= \overrightarrow{f} \left ( \overrightarrow{OM} \right )$ d'où :
$$f(M) = \overrightarrow{f} \left ( \overrightarrow{OM} \right ) + f(O)$$
et si $f(O)$ a pour coordonnées $\left ( x_0 , y_0 \right )$, on peut considérer, en coordonnées homogènes, que le point $M'$ est obtenue comme image par la composée de $ \overrightarrow{f}$ suivi d'une translation. La matrice de l'application affine est :
$$A=\left ( \begin{array}{ccc} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 &1 \end{array} \right )$$ car :

$$ \left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ 1 \end{array} \right )= \left ( \begin{array}{c}a x+by \\cx+dy\\ 1 \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{array} \right )$$
et :

$$ \left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ 1 \end{array} \right )=
\left ( \begin{array}{ccc} a & b & x_0 \\ c & d & y_0 \\ 0 & 0 &1 \end{array} \right )
\times \left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \end{array} \right )$$

Je vais me faire un peu de pub, mais il vient de sortir un livre sur le sujet :

{\bf Mathématiques pour la modélisation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d'images}

et voici le lien :

\lien{http://www.editions-ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=5966}

[Publicité douteuse mais le livre est bon , j'en suis témoin. Bruno]

Bonjour Fairy.

Que sont P, M, P' ?

Cordialement.

Salut Fairy.

De quelle transformation ou type de transformation M est-elle la matrice ?
Endomorphisme linéaire ? Transformation affine ? Homographie (projective) ?

Si P est uni-colonne, on lui préfèrera la notation X et on réservera la notation P aux matrices de passage.

Ce vecteur uni-colonne, X, quel élément ou plutôt quel type d'élément représente-t-il ?
Vecteur ? Point affine ? Point projectif ?

Très cordialement.

Je ne sais pas ce qu'est une matrice de changement d'échelle.
Je me déclare donc incompétent.

KB a écrit:

Je ne sais pas ce qu'est une matrice de changement d'échelle.

Une matrice de dilatation ?

Salut Fairy.

C'est une matrice du type k.I, homothétie matricielle ?

Merci de toutes ces précisions.
Maintenant, quel est le problème posé ?

Très bien.