Polynôme et racines

Salut à tous

Je ne sais pas du tout comment prouver ceci :
\[
P_n = X^n - nX - 1
\]
Montrer que les racines complexes de $P_n$ sont simples.
Montrer qu'elles sont 2 à 2 distinctes ?

Je ne vois pas comment.
Merci

Réponses

  • Tu connais sûrement une propriété reliant la multiplicité des racines d'un polynôme et de celles du polynôme dérivé? (Par exemple en utilisant la formule de Taylor)

    Amicalement
  • Salut Ssirde.

    Skilveg, que je salue bien bas, a dit ce qu'il faut faire.

    Dans ton cours, tu dois avoir une caractérisation des racines SIMPLES ou MULTIPLES d'un polynôme P en fonction de des polynômes P et P', où P' est le polynôme DERIVE de P.

    Bien à toi.
  • Sal.
    je crois que ton problème est dans la 2eme question et que tu sais faire la première ,mais c'est la meme question que la 1er , c'est pas ça?
  • Salut

    On suppose qu'une racine a du polynôme P est double
    alors
    P(a)=0 et P'(a)=0

    donc a^n-na-1=0 et a^(n-1)-1 =0

    donc a(a^(n-1))-na-1 =0
    (1-n)a -1 = 0
    a= 1/(1-n)
    (1/(1-n))^(n-1) = 1
    P admet n racines simples par le th fond de l'alg
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.