Discontinuité et croissance

dans Analyse
Bonjour à tous
La fonction indicatrice des rationnels fournit un exemple explicite de fonction que j'appelle « totalement discontinue », c'est-à-dire qu'elle n'est continue en aucune valeur de x réel (ou bien ?).
Je me suis demandé s'il existe une fonction elle aussi totalement discontinue sur R, mais qui plus est croissante ...
En l'état actuel de mes réflexions, j'ai l'impression que des arguments utilisant judicieusement l'axiome du choix devraient permettre de conclure à l'existence d'une telle fonction, mais qu'en exhiber une explicitement risque d'être autrement plus délicat.
Qu'en pensez-vous ?
PS : apparemment, pas moyen de faire du LaTeX actuellement :-(
La fonction indicatrice des rationnels fournit un exemple explicite de fonction que j'appelle « totalement discontinue », c'est-à-dire qu'elle n'est continue en aucune valeur de x réel (ou bien ?).
Je me suis demandé s'il existe une fonction elle aussi totalement discontinue sur R, mais qui plus est croissante ...
En l'état actuel de mes réflexions, j'ai l'impression que des arguments utilisant judicieusement l'axiome du choix devraient permettre de conclure à l'existence d'une telle fonction, mais qu'en exhiber une explicitement risque d'être autrement plus délicat.
Qu'en pensez-vous ?
PS : apparemment, pas moyen de faire du LaTeX actuellement :-(
Réponses
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Salut,
Ne cherche plus, ça n'existe pas ! Une fonction monotone sur $\R$ a un nombre au plus dénombrable de points de discontinuités. Je te laisse chercher une démo, et si tu ne trouves pas, je peux te donner des indications... -
Très bien, merci de cette réponse rapide.
Pour la démo, je veux bien avoir l'une ou l'autre piste.
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Dénombre les discontinuités par la taille du saut...
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Ca c'est la démo numéro 1. Tu peux aussi caser un rationnel dans chaque saut et ainsi construire une application de l'ensemble des discontinuités vers Q, avec des propriétés sympathiques...
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on en a déjà parlé de nombreuses fois sur le forum, la dernière en date étant là : < http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,358648,358648#msg-358648 >
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