Fourier, unicité et localement intégrable

Bonjour

Il n'y a rien à faire je trouve les problèmes d'unicité dans la théorie des séries de Fourier et séries trigonométriques subtile.

Dans Zuily QUeffelec p85: deux fonction de L1(2pi) qui ont mêmes coefficients de Fourier sont égales presque partout

Dans Doukhan p217: deux fonctions localement intégrables qui ont même série de Fourier sont égales presque partout

J'en conclus que raisonner sur la série de Fourier plutôt que le spectre nécessite des hypothèses supplémentaires (loc. int.) si on veut avoir l'unicité

Qu'en pensez vous ?

Réponses

  • Comme il est très tard, je n'ai sûrement rien compris, mais il me semble que L1-loc est une hypothèse plus faible que L1, et donc que c'est le contraire ???
  • Je ne vois pas quelle est la différence entre loc intégrable et $L^1(2\pi)$?
    (et je ne vois pas non plus la différence entre série de Fourier et spectre, l'un donne l'autre)
  • Tu es sûr que ce n'est pas une question de vocabulaire ? $L^1_{\mathrm{loc}}$ n'est pas une hypothèse supplémentaire par rapport à $L^1$. C'est le contraire.
  • Les grands esprits insomniaques se rencontrent...
  • Joli tir groupé ! $L^1_{\mathrm{loc}}([0,2\pi])=L^1([0,2\pi])$ mais $L^1_{\mathrm{loc}}(]0,2\pi[)\supset L^1(]0,2\pi[)$ strict, avec $L^1(]0,2\pi[)=L^1([0,2\pi])$...

    Mais une fonction dans $L^1_{\mathrm{loc}}(]0,2\pi[)$ n'a pas de raison d'avoir de coefficients de Fourier, donc je ne vois pas très bien à quoi ça rime.

    Bon je vais me coucher.
  • Moi aussi, bonne nuit à tous les trois.
  • Voici la définition donnée par Doukhan:

    "si $\mu$ est une mesure de Daniell sur l'espace de Riesz E de fonctions sur X comme d'habitude dénombrable à l'infini, on dira que g de X dans $\bar {\R}$
    est localement $\mu$ intégrable lorsque pout toute fonction $\phi \in E$
    $g\phi$ est $\mu$ intégrable

    C'est ce qu'on appelle l'art de noyer le poisson

    Sinon vos remarques laissent entendre que deux séries de Fourier identiques ont même spectre...
  • ...c'est évident soit si on pose comme définition que deux séries de Fourier sont identiques SSI elles ont mêmes coefficients soit alors si la fonction est dans L2 base hilbertienne oblige
    sinon, selon moi ce n'est pas trivial et pourrait résulter du fait que deux séries trigonométriques convergeant pp vers une même fonction intégrable sont identiques et ce résultat est une conséquence de la théorie des Riemann des séries trigonométriques.
    Mais dans Doukhan on a aucune info sur la somme
  • Pour moi une série de Fourier, c'est avant tout une série, et elle est définie par ses coefficients.
    Sinon, la définition de Doukhan est imbuvable.
  • COrentin

    deux séries peuvent avoir la même somme sans avoir les mêmes coefficients.

    Médite cet exemple bête "fini" et indépendant de x niveau collège:

    1=1/2+1/2=1/4+1/4+1/4+1/4
  • On a simplement un problème de définition.
    Pour moi une série de Fourier, c'est pas la somme, c'est la donnée de la suite des coefficients $c_n$ (ou $a_n$ et $b_n$ si on travaille avec $cos$ et $sin$).
  • Le résultat énoncé par ZQ est une conséquence très simple de la convergence L1 des sommes de Fejer. Ca tient en deux lignes

    Doukhan lui place la démonstration dans le paragraphe sur l'intégration des séries de Fourier. Le tout fait 4 pages


    Sinon j'ai consulté une dizaine d'ouvrages et aucun ne donne la définition de l'égalité de séries de Fourier. A croire que c'est tellement évident que ce n'est pas nécessaire de préciser de quoi on parle.
  • Je crois que je vais pencher pour ton point de vue COrentin et laisser de côté le théorème fumeux de Doukhan
  • Sinon, si tu cherches un vrai théorème d'unicité d'énoncé simple, il est en problème dans Gourdon (je sais plus quel chapitre): une série trigo qui converge vers la fonction nulle a tous ses coeffs nuls. C'est quelque chose comme "théorème de Cantor Lebesgue".
  • Dur dur de travailler avec le Doukhan-Siffre.
  • e=mc3 : sage décision. D'autant plus que pour le complémentaire de Doukhan-Siffre dans le reste du monde$^*$, une fonction localement intégrable par rapport à une mesure borélienne sur un espace $X$ est une fonction dont l'intégrale sur tout compact de $X$ est finie. Ca te fabrique un espace vectoriel topologique $L^1_{\mathrm{loc}}(X,d\mu)$ à l'aide des semi-normes $\|f\|_{L^1(K,d\mu)}$, $K$ parcourant les compacts de $X$.

    $^*$peut-être à un ensemble de mesure petite près...
  • Bon à vouloir faire le malin... j'aurais dû dire intégrable sur tout compact de $X$8-)
  • Sartorius

    travailler avec le Doukhan et Siffre n'est assurément pas évident, mais je le trouve personnellemenet truffé d'idées intéressantes. Son seul défaut c'est qu'il faut savoir faire la part des choses dans cet ouvrage car tout n'est pas bon à prendre à mon sens (surtout si l'on ne veut pas perdre beaucoup de temps) et que l'on peut vite se fourvoyer dans des paragraphes inextricables si on n'a pas le bagage nécessaire ou la moindre idée de là où l'on veut nous emmener.
    Certaines généralisations sont intéressantes, d'autres tuent l'intuition des choses par une lourdeur de notation à mon sens excessive.
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