petits exos de topologie

dans Topologie
bonjour
j'ai des difficultés sur certains exercices que j'ai eu en épreuve de topologie
" montrez qu'un produit fini d'espaces métriques est métrisable et que l'espace produit est complet si et seulement chacun des facteurs est complet et qu'il est compact si et seulement si chacun des facteurs est compact. ( dire que le résultat a été démontré en cours n'est pas la réponse espérée. il ne sagit pas non plus de faire appelle au théoreme de tychonov)"
si on doit pas utiliser le théoreme...comment faire ?
Aprés j'ai eu :
" montrez que R*R ne peut pas etre recouvert par une famille dénombrable de droites "
" déduisez du théoreme de baire qu'un espace métrique complet ne peut pas etre réunion dénombrebale de fermés d'intérieurs vides"
" montrez que si un sous espace vectoriel V d'un espace normé E est d'intérieur non vide alors V=E ( indication on pourra montrer que si V est d'intérieur non vide alors O est dans l'intérieur de V ) "
" on rapelle qu'un sous espace vectoriel de dimension finie est toujours fermé.montrez que R n n'est pas une réunion dénombrebable de sous espaces vectoriels de dimensions strictement inférieures à n "
Aprés j' ai eu d'autres exercices je vous les montrerais plus tard
merci
j'ai des difficultés sur certains exercices que j'ai eu en épreuve de topologie
" montrez qu'un produit fini d'espaces métriques est métrisable et que l'espace produit est complet si et seulement chacun des facteurs est complet et qu'il est compact si et seulement si chacun des facteurs est compact. ( dire que le résultat a été démontré en cours n'est pas la réponse espérée. il ne sagit pas non plus de faire appelle au théoreme de tychonov)"
si on doit pas utiliser le théoreme...comment faire ?
Aprés j'ai eu :
" montrez que R*R ne peut pas etre recouvert par une famille dénombrable de droites "
" déduisez du théoreme de baire qu'un espace métrique complet ne peut pas etre réunion dénombrebale de fermés d'intérieurs vides"
" montrez que si un sous espace vectoriel V d'un espace normé E est d'intérieur non vide alors V=E ( indication on pourra montrer que si V est d'intérieur non vide alors O est dans l'intérieur de V ) "
" on rapelle qu'un sous espace vectoriel de dimension finie est toujours fermé.montrez que R n n'est pas une réunion dénombrebable de sous espaces vectoriels de dimensions strictement inférieures à n "
Aprés j' ai eu d'autres exercices je vous les montrerais plus tard
merci
Réponses
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Bonjour,
Si on te demande de ne pas utiliser un résultat disant directement \og\ c'est vrai \fg, et bien c'est qu'il faut le redémontrer à partir de résultats plus élémentaires. Ici, tu peux mettre une distance sur le produit, puis utiliser les caractérisations de complet et de compact à l'aide de suites pour le sens si, et construire un contre-exemple avec un produit de $n$ espaces dont un n'est pas complet ou compact, pour le sens seulement si. Ce n'est pas très difficile.
Pour le reste, le deuxième est une conséquence du troisième, qui est effectivement une conséquence immédiate du théorème de Baire quand on le formule à l'aide de fermés.
Ensuite si un sev contient une boule centrée en $x_0$, il contient son image par la translation de vecteur $-x_0$, puis on utilise des homothéties pour récupérer l'espace entier. Le dernier exo est une combinaison des deux précédents. -
pour la première question, tu veux dire métrisable pour la topologie produit ? si tu prends le sup de toutes les distances je crois que ça marche
pour la compacité, c'est plus simple que le théorème de Tychonov, inspire toi du procédé diagonal, mais cette fois ça s'arrête. (je suis pas très clair lol)
pour la deuxieme question, utilise le fait que la mesure de Lebesgu d'une droite est nulle, et utilise la dénombrabilité pour voir que la mesure de cette réunion est aussi forcément nulle. Alors que la mesure de R² n'est pas nulle.
pour la troisieme question, utilise la forme du théorème de Baire exprimée en terme de fermés. -
nombre dénombrable de droitesdans $W\to$ nombre dénombrable de directions (angles)
Soit $d$ droite de direction autre que toutes les directions des droites de $W$
$d$ intersecte chaque droite de $W$ en au plus un point.
La réunion des droites de $W$ ne contient qu'un nombre dénombrable de points de $d$.
Chacun t'en résout un sur le forum lol, je passe le relais -
Messieurs, messieurs, allons ! Ce n'est ni la théorie de la mesure, ni de la théorie des ensembles, mais de la topologie, visiblement des variations sur Baire. Ne mélangeons pas tout !
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est ce que je pourrais avoir des détails pour ce que tu m'as expliqué , remarque. pour le premier exo
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remarque Écrivait:
> Messieurs, messieurs, allons ! Ce n'est ni la
> théorie de la mesure, ni de la théorie des
> ensembles, mais de la topologie, visiblement des
> variations sur Baire. Ne mélangeons pas tout !
Certes, mais rien n'empêche d'utiliser ce qu'on sait sur la théorie de la mesure quand même, surtout quand ça évite de sortir l'artillerie lourde avec Baire. -
je parlais sur ce qu'il m'avait ecrit tout au début du message
a mon avis le prof veut qu'on utlise baire car on fait de la topologie -
Toto.le.zero : pour toi peut-être, pas pour une étudiante en licence dans une UE de topologie. Par ailleurs, considérer que Baire qui se démontre en un quart de page, c'est de l'artillerie lourde par rapport à la théorie de la mesure, la construction de la mesure de Lebesgue dans $\R^2$ et le fait qu'une droite quelconque est de mesure nulle, ben c'est une opinion que je ne partage pas.
Virginie : tu as raison de ne pas écouter Toto.le.zero sur ce point particulier. On parle de Baire, c'est clair. Par contre, tu peux l'écouter quand il te dit que le max des distances ça marche. Je développe un petit peu. On se donne $n$ espaces métriques $(X_{i},d_{i})$. Tu définis une distance $d$ sur le produit cartésien $X=\prod_{i=1}^{n}X_{i}$ par $d(x,y)=\max_{i}d_{i}(x_{i},y_{i})$ où $x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ etc. \`A toi de vérifier que $(X,d)$ est bien un espace métrique.
Pour la compacité, on suppose que tous les $X_{i}$ sont compacts. Tu es dans un espace métrique, donc il suffit de montrer que toute suite de $X$ admet une sous-suite qui converge. Prends donc une suite $x^k=(x^k_{1},x^k_{2},\ldots,x^k_{n})$ et utilises le fait que la suite $x^k_{i}$ est dans le compact métrique $X_{i}$ pour tout $i$ pour extraire une suite qui convient.
Réciproquement, supposons que $X$ soit compact. Le raisonnement précédent à l'envers montre que chaque $X_{i}$ est compact (pas de besoin de sortir un contre-exemple finalement).
Procède de la même fa\c con pour la complétude, mais avec des suites de Cauchy. -
columbo tu pourrais me réexpliquer ce que tu m'as écrit pour l'intersection des droites s'il te plait ?
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remarque pourais tu me détailler ce que tu m'as expliqué tout au début pour les autres exos
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Bonsoir,
Je me lance dans les explications : On se donne $n$ espace métriques $(X_i,d_i)_{i=1,..,n}$. On note $X=\prod_{i=1}^n X_i$. Montrer que $X$ est métrisable revient à trouver une métrique sur $X$. Pour celà on peut choisir la métrique $d$ définie par $d(x,y)=\max_{i=1,..,n} d_i(x_i,y_i)$ où $x=(x_1,...,x_n)$ et $y=(y_1,...,y_n)$. $d$ est une métrique car : $d(x,y) \geq 0$, pour tout $x,y \in X$. Si $d(x,y)=0$, alors pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $d_i(x_i,y_i)=0$, d'où $x_i=y_i$, pour tout $i\in \{1,...,n\}$, ce qui montre que $x=y$. $d$ est symétrique (c'est facile à voir), enfin $d$ vérifie l'inégalité triangulaire car pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $d_i(x_i,z_i) \leq d_i(x_i,y_i)+d_i(y_i,z_i)$, donc $\max_{i=1,..,n} d_i(x_i,z_i) \leq \max_{i=1,..,n} (d_i(x_i,y_i)+d_i(y_i,z_i)) \leq \max_{i=1,..,n} d_i(x_i,y_i)+ \max_{i=1,..,n} d_i(y_i,z_i)$. Ceci prouve que $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, pour tout $x,y,z \in X$. Voilà j'espère que c'est plus clair pour toi -
Je réponds à la place de l'inspecteur : il t'a donné un argument de cardinalité (dont il est coutumier). Une droite $d$ est coupée par un nombre dénombrable de droites de l'ensemble considéré. Il n'y a qu'un nombre dénombrable d'intersections, or la droite en question est indénombrable. Donc l'ensemble dénombrable de droites ne peux pas recouvrir $\R^2$, sinon son intersection avec $d$ serait $d$. C'est probablement l'argument le plus élémentaire, mais ce n'est probablement pas dans l'esprit de ton problème.
Pour le reste, je te rappelle le théorème de Baire. Dans un espace métrique complet $(X,d)$, une intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. Si tu passes aux complémentaires, c'est équivalent au fait qu'une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide. Par conséquent, aucun sous-ensemble de $X$ d'intérieur vide ne peut s'écrire comme réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide, ce qui est le cas en particulier de $X$.
Pour le premier exo, une droite est d'intérieur vide dans $\R^2$. Pour le troisième, soit $E$ un evn et $V$ un sev d'intérieur non vide. Ce veut dire qu'il existe $x_{0}\in V$ et $r>0$ tel que la boule ouverte $B(x_{0},r)$ soit incluse dans $V$. Comme $x_{0}\in V$, pour tout $y\in B(x_{0},r)$, $y-x_{0}\in V$. Or $y\in B(x_{0},r)$ est équivalent à $\|y-x_{0}\|<r$, ce qui est équivalent à $y-x_{0}\in B(0,r)$. Donc $B(0,r)\subset V$. Si on prend maintenant $x\in E$ non nul, alors $\frac r{2\|x\|}x\in B(0,r)\subset V$. Donc $x=\frac {2\|x\|}r\bigr(\frac r{2\|x\|}x\bigl)\in V$, ce qui montre que $V=E$. Tu en déduis qu'un sev strict de $E$ est d'intérieur vide et tu termines le dernier exo. -
<<Réciproquement, supposons que $X$ soit compact. Le raisonnement précédent à l'envers montre que chaque $X_i$ est compact (pas de besoin de sortir un contre-exemple finalement).>>
Un autre raisonnement qui ne me parait pas trop compliqué est de considérer les projections $p_i : X \longrightarrow X_i$ qui à $x=(x_1,...,x_n) \in X$ associent $x_i$. Cette application est 1_Lipschitzienne donc continue, par conséquent $X_i=p_i(X)$ est compact comme image d'un compact par une application continue. -
Oui, tu as raison. On peut faire comme ça également. Par contre, ça ne marchera pas pour la complétude.
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voilà les autres exrcices dt j'ai évoqué :
" une fonction continue f:X x Y ---> R est décomposable d'il existe des fonctions continues g : X ----> R et h : X----> R telles que , pour tout (x,y) appartenant à X x Y , f(x,y)=g(x)h(y). on note C(X)x ( + un rond autour du fois) C(y) l'ensemble des fonctions continues de X x Y dans R qui peuvent s'écrire comme somme de fonctions continues décomposables, c'est à dire, les fonctions de la forme f(x,y) = som de g indice j de (x) x h indice j de y et 1<=j<=k avec g indice j appartenant à C(X) et h indice j appartenant à C(Y) pour tout j
on suppose que X et Y sont des espaces métriques compacts. montrez que C(X) x avec le rond C(Y) est dense dans C( X x Y) pour la topologie uniforme "
alors là aucune idée ..
aprés j'ai eu :
( a ) montrez que le théoreme de baire est équivalent à l'énoncé suivant: dans tout espace métrique complet ( X ,d) toute réunion dénombrable de sous espaces fermés d'intérieurs vides est un sous espace d'intérieur vide
(b) soit { Fn: n apprtenant a N} une famille de sous ensembles fermés de R telle que l'union des Fn = R; montrez qu'il existe n0 appartenant à N , x0 appartenant a Fn0 et eps>0 tels que ]x0-eps,x0+eps[ inclus Fn0
(c) on rappelle la définition topologique de la continuité: une fonction f:X--->R est continue sur X si pour tout ouvert U de R l'ensemble F-1( U) est ouvert dans X. montrez que cette définition est équivalentte, pour tout espace métrique 5x,d) à la définition eps-gamma de la continuité
(d)on note Bn l'application de l'espace de banach C([0,1]) dans lui meme qui associe a tout f appartenant à C([0,1]) associe son n-ieme polynome de bernstein.montrez que Bn est linéaire et continue
voilà
j'aimerais votre aide sur ces exos -
Pour le premier, c'est clairement le théorème de Stone-Weierstrass, l'hypothèse $X$ et $Y$ compacts nous indique clairement qu'il faut utiliser ce théorème.
$X$ et $Y$ sont compacts donc $X \times Y$ l'est également. On note $F=C(X) \times \mbox{(rond)}C(Y)$. Pour appliquer le th de Stone-Weierstrass, il faut que $F$ soit une sous-algèbre de $C(X \times Y)$ qui contienne les constantes et sépare les points. Une sous-algèbre celà se vérifie assez facilemement, les fonctions constantes sont décomposables donc c'est ok, enfin il reste à vérifier que $F$ sépare les points : soient $(x_1,y_1) \in X \times Y$, $(x_2,y_2) \in X \times Y$, $(x_1,y_1) \neq (x_2,y_2)$ et $(a_1,a_2) \in \mathbb{R}^2$. Il faut trouver une fonction $f \in F$ telle que $f(x_1,y_1)=a_1$ et $f(x_2,y_2)=a_2$. Si $y_1 \neq y_2$, alors on choisit $f(x,y)=a_1 \frac{(y-y_2)}{(y_1-y_2)}+a_2\frac{(y-y_1)}{(y_2-y_1)}$. Si $y_1=y_2$ et $x_1 \neq x_2$ alors on choisit $f(x,y)=a_1 \frac{(x-x_2)}{(x_1-x_2)}+a_2\frac{(x-x_1)}{(x_2-x_1)}$. Enfin dans tous les cac, on obtient : pour tout $(x_1,y_1) \in X \times Y$, $(x_2,y_2) \in X \times Y$ et $(a_1,a_2) \in \mathbb{R}^2$ tels que $(x_1,y_1) \neq (x_2,y_2)$, il existe une fonction $f \in F$ telle que $f(x_1,y_1)=a_1$ et $f(x_2,y_2)=a_2$. Par conséquent $F$ sépare les points, donc d'apres le th de Stone Weierstrass, $F$ est dense dans $C(x \times Y)$ pour la norme de la convergence uniforme. -
bonjour Virgine
moi aussi j'ai des exercices qui me bloque des temps en temps mais je crois la mailleure maniere de preparer la topologie c'est de biencomprendre le cours et de faire des exercices dont on les solutions sinon tu vas te decourage de cette UE #bete noire#
bon courage -
Pourtant c'est sympas la topologie
-
virginie Écrivait:
> ( a ) montrez que le théoreme de baire est
> équivalent à l'énoncé suivant: dans tout espace
> métrique complet ( X ,d) toute réunion dénombrable
> de sous espaces fermés d'intérieurs vides est un
> sous espace d'intérieur vide.
Le théorème de Baire te dit que dans un espace métrique complet $(E,d)$ toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans $E$ est dense dans $E$ i.e pour toute suite d'ouverts $(O_n)_n$ telle que pour tout $n \in \N$ et $\overline{O_n}=E$ on a $\overline{ \bigcap_{n \in \N} O_n } = E$. Condition nécessaire: Soit $(F_n)$ une suite de fermés d'intérieurs vides. On a $\overline{E \backslash F_n}= E \backslash \mathring{F_n}=E$ donc pour tout $n$, l'ouvert $O_n=E \backslash F_n$ est dense dans $E$. De par l'hypothèse, on obtient ainsi que $\overline{ \bigcap_{n \in \N} O_n }= E \backslash \bigcup_n F_n$ est dense dans $E$, soit $\bigcup_n F_n$ est d'intérieur vide. La réciproque est du même acabit en regardant les fermés $F_n=E \backslash O_n$.
> j'aimerais votre aide sur ces exos
Pour le coup, je ne suis pas sûr de t'avoir vraiment aidé. J'espère que tu feras par toi-même la réciproque. Bon courage! -
Virginie,
Pour ce qui concerne ton exercice (c), je t'ai déjà répondu (ici : < http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,385955,385955#msg-385955 > ) en joignant un petit poly où se trouve la démonstration cherchée.
D'autre part, quand je lis ce fil (par exemple, car les autres sont du même tonneau), je constate que tes interventions ne parlent jamais de ce que tu as fait ou essayé de faire, ou bien des informations que tu es toi-même allée chercher.
Ce qui me paraît assez inquiétant car presque tous les exercices que tu poses (et que tu re-poses..) sont quasiment des questions de cours, et donc beaucoup d'éléments de réponse (et même de réponses complètes) se trouvent normalement dans n'importe quel cours de topologie.
Mais peut-être n'as-tu pas suivi de cours de topologie ou n'as-tu pas de notes de cours fiables ? -
le problème que j'ai avec la topologie est que le prof que j'ai ce n'est pas question qu'il ne donne pas de cours fiable mais comment dire, en cours il explique tout à l'oral et il va vite
il ne prend pas le temps de nous demander s'il pose la question certains répondent oui et il continue; pour les partiels on a aucune corection car pour lui c'est à nous de chercher nos erreurs et en td il nous laisse chercher et la correction il fait le minimun et entre les tds et les partiels y a un décalage
Quand on arrive aux examens on fait le cours et les exercices on essaie mais pour lui si tu mets la moindre bétise c'est fini ; par exemple ds la classe on est une vintaine et il y a qu'une seule personne voir deux maxi qui a la moyenne c'est tout aprés nous on tourne des 5 voilà
alors j'essaie de refaire ces partiels et c'est vrai que sur certains exos qu'il met c'est du cours mais d'autres non ; j'ai du mal à commencer je sais mon cours mais aprés pour appliquer j'ai du mal à démarrer
c'est pour ca que je viens sur ce forum pour m'aider , qu'on m'explique car aussi il veut une rédaction parfaite .. alors forcément ca coince
comme j'ai bientot uen épreuve de lui, j'essaie je trouver tous les exos que j'ai eu j'ai refais deja ceux qui sortent du cours je les ai rédigés parfaitement
voilà -
Ce serait sympas alors que tu proposes des rédactions de certaines questions pour qu'on essaie de te corriger les erreurs, si tu ne trouves pas tu peux quand meme nous proposer une ou deux idées, apres il suffit parfois d'une indication pour trouver tout seul.
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{\it columbo tu pourrais me réexpliquer ce que tu m'as écrit pour l'intersection des droites s'il te plait ?}
Soit $W$ ton ensemble {\bf dénombrable} de droites et $T$ sa réunion
Soit $d$ une droite telle que $direction(d)\neq direction(d')$ pour toute droite $d'$ de $W$
Si $x\in T\cap d$ alors il existe une droite $d'$ dans $W$ telle que $x\in d'$. Et donc $x=$ au point où se coupe $d$ et $d'$.
Il y a donc une {\bf surjection} de $W$ sur $T\cap d$ qui est donc dénombrable. Un point de $d$ en dehors de $d\cap T$ n'appartient donc pas à la réunion des droites de $W$.
Il est difficile de faire plus...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si $T= \mathbb{R}^2$ alors $T \cap d=d$ qui n'est pas dénombrable. Or $T \cap d$ est dénombrable, donc $T \neq \mathbb{R}^2$
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merci pour christophe
apres pour blue mathématique:
je vais donner quelques idées pour deux exercies que j'ai donné :
"soit { Fn: n apprtenant a N} une famille de sous ensembles fermés de R telle que l'union des Fn = R; montrez qu'il existe n0 appartenant à N , x0 appartenant a Fn0 et eps>0 tels que ]x0-eps,x0+eps[ inclus Fn0 "
MOI : ce qui me vient à l'idée pour résoudre cet exercice: prendre un voisinage centrée en x0 pour obtenir l'encadrement demandé
"on note Bn l'application de l'espace de banach C([0,1]) dans lui meme qui associe a tout f appartenant à C([0,1]) associe son n-ieme polynome de bernstein.montrez que Bn est linéaire et continue "
Moi: je sais comme on écrit la formule d'un polynome de bernstein ; pour la linéarité il faut vérifier les propriétées mais j'ai du mal à l'écrire car c 'est pas comme par exemple à un polynome ou on doit le vérifier à un x etc.. et la continuité , ds mon cours le prof a fait Bn(x)-f(x)..j'ai pas trop compris pour quoi
" on rappelle la définition topologique de la continuité: une fonction fangry smiley--->R est continue sur X si pour tout ouvert U de R l'ensemble F-1( U) est ouvert dans X. montrez que cette définition est équivalentte, pour tout espace métrique (x,d) à la définition eps-gamma de la continuité"
Moi: oui je l'ai remis car je l'ai pas trouvé ds le chapitre tout simplement -
Le problème est que tu ne connais pas $x_0$, vu qu'il faut montrer qu'il existe, donc tu auras du mal à prendre un intervalle centré en $x_0$. Cependant, l'existence d'un intervalle inclus dans $F_{n0}$ est équivalente à $Int(F_{n0}) \neq \emptyset$ (définition de l'intérieur d'un ensemble). Maintenant, à toi de savoir pourquoi il existe un entier $n_0$ tel que $Int(F_{n0}) \neq \emptyset$.
Pour la linéarité de $B_n$, rien à voir avec l'évaluation de $|B_n(f)(x)-f(x)|$ qui sert uniquement à démontrer que la suite de polynomes $(B_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$. Ici, il faut démontrer que $B_n(f_1+f_2)=B_n(f_1)+B_n(f_2)$, puis $B_n( \lambda f)= \lambda B_n(f)$. Pour le premier, $B_n(f_1+f_2)$ et $B_n(f_1)+B_n(f_2)$ sont des fonctions définies sur $[0,1]$, donc pour montrer qu'elles sont égales, il faut démontrer qu'elle coincident en tout point de $[0,1]$. Pour celà tu te fixes un réel arbitraire $x \in [0,1]$, puis tu démontres que $B_n(f_1+f_2)(x)=B_n(f_1)(x)+B_n(f_2)(x)$. Une fois que ceci est fait, tu conclus de la manière suivante : ce résultat est vrai pour tout $x \in [0,1]$, donc $B_n(f_1+f_2)=B_n(f_1)+B_n(f_2)$. Enfin je te laisse faire le détail, c'est à dire démontrer que $B_n(f_1+f_2)(x)=B_n(f_1)(x)+B_n(f_2)(x)$.
Bon courage -
"oui je l'ai remis car je l'ai pas trouvé ds le chapitre tout simplement" : c'est l'équivalence entre les assertions (1) et (2) du théorème 10.37 page 353 (=page 13 du fichier).
Il faut simplement que tu adaptes le vocabulaire au cadre la question qui t'es posée : remplacer voisinage d'un point p par boule ouverte de centre p de rayon epsilon (et, dans R, intervalle ouvert de centre p).
En tous cas, ce que tu nous décris de tes cours n'a pas l'air très réjouissant. Bon courage. -
Pour blue mathématics :
"cependant, l'existence d'un intervalle inclus dans $ F_{n0}$ est équivalente à $ Int(F_{n0}) \neq \emptyset$ (définition de l'intérieur d'un ensemble). Maintenant, à toi de savoir pourquoi il existe un entier $ n_0$ tel que $ Int(F_{n0}) \neq \emptyset$."
est ce que c'est du au fait que l'union des Fn est à égal à R ?
Autre question pour un autre exercice:
Dans cette question ( X , d) est un espace métrique compact. On note C(X) l'espace de Banach des fonctions continues de X dans R
(a) Montrez que toute famille équilipschitzienne F inclus dans C(X) est équicontinue. On rappelle qu'une famille de fonctions est équilispchitzienne s'il existe une même constante de Lipschitz pour toutes les fonctions de la famille.
(b) Soit F inclus dans C(X) une famille équilipschitzienne. On suppose qu'il existe x0 qui appartient à X et M inférieur à l'infini tels que, pour toute f appartenant à F, |f(x0)| <= M.
Montrez que l'adhérence de F est une partie compacte de C(X)
Indication : Il existe L>0 tel que, pour tout f appartenant à F et tout x appartenant à X, |f(x)-f(x0)| <= L d(x,x0) "
Moi: pour le petit b , on vient de démontrer dans le petit a que toute famille equilipschtizienne est equicontinue dc pour le petit b on sait qu'elle est equilipschitzienne dc elle est equicontinue et à partie de là est que on peut utiliser le théoreme d'ascoli et dire que comme elle est equicontinue ca implique que l'adhérence de F est dc une partie compacte de C(X) ??est ce qu'on peut le faire ? -
<<est ce que c'est du au fait que l'union des Fn est à égal à R ? >>
C'est en partie pour celà, mais cet argument n'est pas suffisant pour conclure. Si tu donnes cette réponse le professeur ne pourra pas te mettre la totalité des points.
La rédaction que j'adopterais serait la suivante : l'espace métrique $(\mathbb{R},d)$, ou $d$ est la métrique définie par $d(x,y)=|x-y|$ est complet, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $F_n$ est un fermé de $\mathbb{R}]$, l'intérieur de la réunion $\cup_{n \in \mathbb{N}} F_n$ est non vide, donc d'apres la question précédente, il existe un entier $n_0$ tel que $F_{n_0}$ soit d'intérieur non vide. Soit $x_0 \in Int(F_{n_0})$. D'apres la définition de l'intérieur d'une partie de $\mathbb{R}$, il existe $\varepsilon >0$ tel que l'intervalle $]x_0- \varepsilon, x_0+ \varepsilon[$ soit inclus dans $F_{n_0}$.
Concernant Ascoli, pour utiliser ce théorème tu oublies de vérifier une hypothèse du théorème tres importante : $F$ doit etre une partie bornée de $C(X)$, c'est à dire tu dois au préalable démontrer l'existence d'une constante $M>0$ telle que pour tout $f \in F$, $\|f\|_{\infty} \leq M$. Une fois que ceci est fait, tu peux appliquer le théorème d'Ascoli. -
- pour montrer que Bn est continue : on utilise la définition ?
- Ensuite , j'ai quelques questions sur des exos que j'avais mis sur le forum:
je suis dsl mais je reviens dessus mais je prefere reposer les questions que metre des betises le jour de l'épreuve
d)- Montrez qu'une fonction f: X ---> R est continue en un point x0 de X, au sens de a, si et seulement si pour toute suite (x n), avec n € N, de X qui converge vers x0 la suite f(x n) converge vers f(x0)
Moi: j'ai du le faire mais je m'en rappelles pas ..il suffit tout simplement pt etre d'écrire ce que cela veut dire pour voir
e)- On rappelle la définition topologique de la continuité : une fonction f : X ---> R est continue sur X si pour tout ouvert U de R l'ensemble f-1 (U) est ouvert ds X. Montrez que cette définition est équivalente, pour tout espace métrique ( X, d) à la définition epsilon-gamma de la continuité.
Moi: j'ai regardé ds le polycope ; sur le polycopié j'ai du mal à le visualiser ds ma tete c'est peut etre bete ce que je vais dire mais je prefere qu'on me le montre ( commen m'a fait blue pour la linéarité de Bn)
f)- on pose X = R ( l'ensemble des réels ) Montrez en utilisant la définition epsilon-gamma de la continuité que la fonction f(x)=x et que toutes les fonctions constantes sont continues
on montre en utilisant (b) en récurrence évidente que toute application de la forme x ---> x n'est continue et on en déduit, toujours par b, que toute fonction polynomiale est continue "
Moi: là je vois ce qu'il demande mais je ne sais pas comment l'écrire ; j'avais fait kk chose au partiel mais comme il nous dit pas nos erreurs je sais pas si au final j'avais juste; il suffit de remplacer par la définition et pour montrer que toutes les fonctions continues st constantes je prend une constante et j'applique la définition .. et pour les polynomes je vois pas trop .. -
aprés j'ai eu :
" on suppose que (X, d) est complet, que f est continue et qu'il existe une suite de points ( xn) de X telle que, pour tout n appartenant à N , Oxn+1 est inclus dans Oxn et inf diam ( Oxn) = 0. montrez qu'il existe x appretenant à X tel que f(x)=x "
Moi: on utilise pt le théoreme de la valeur intermédiaire...
" soit f: (X,d)--->(X,d)une application de l'espace métrique (X,d) ds lui -meme A tout point x appartenant à X associons l'ensemble Ox={ f indice m (x) : m appartenant à N} où, par définition, f indice 0( x)= x et f indice m+1 (x) = f(f indice m (x)); montrez que, pour tout x appartenant à X, f(Ox) inclus ds Ox "
Moi: aucune idée -
je voudrais votre avis sil vous plait
-
Virginie, je crois que tout le monde est découragé par la typographie. Je me permets de le remettre en forme.
Soit $f: (X,d)\to (X,d)$ une application de
l'espace métrique $(X,d)$ ds lui -meme. A tout point
$x$ appartenant à $X$ associons l'ensemble $O_x=\{ f^m (x) ; m\in\N\}$ où, par
définition, $f^0( x)= x$ et $f^{m+1}(x)= f(f^m (x))$; montrez que, pour tout $x$
appartenant à $X$, $f(O_x)\subset O_x$ .
On suppose que $(X, d)$ est complet, que $f$ est continue et qu'il existe une suite de points $(x_n)$ de $X$ telle que, pour tout $n$ appartenant à $\N$ , $O_{x_n+1}$ est inclus dans $O_{x_n}$ et $\inf \text{diam }( O_{x_n}) = 0$. montrez qu'il existe $x$ appretenant à $X$ tel que $f(x)=x$.
Je te suggère de montrer que la suite $(x_n)$ est de Cauchy. -
Pour la continuité de l'application linéaire $B_n$, il suffit de montrer que $||B_n(f)||\leq M||f||$ pour une certaine constante $M>0$.
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pour malot phillipe : en faite j'ai du mal à commencer en faite est ce que tu pourrais me montrer le raisonnement qu'il faut adopter
pour aléa: pour montrer que cela est uen suite de cauchy j'utilise les hypotheses que l'on me donne mais pour montrer l'existence d'un x tel que f(x)=x j'utilise un autre théoreme?
pour montrer l'inclusion du dessu de cette question , je vois pas trop .. -
Tu veux montrer que le sup de $|B_n(f)(x)|$, pour $x\in[0,1]$, est inférieur au sup de $|f|$ sur $[0,1]$ (à une constante multiplicative près).
Il te suffit de remplacer $B_n(f)(x)$ par son expression dans $|B_n(f)(x)|$ (expression avec une somme), et d'utiliser l'inégalité triangulaire... je te laisse terminer. -
Noter qu'une droite de $R^2$ étant un fermé d'intérieur vide, le premier exo découle du fait qu'un complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieurs vides (ie exo 3 => exo 2).
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merci phillipe
j'aurais une question pour un autre exercice :
Dans cette question ( X , d) est un espace métrique compact. On note C(X) l'espace de Banach des fonctions continues de X dans R
(a) Montrez que toute famille équilipschitzienne F inclus dans C(X) est équicontinue. On rappelle qu'une famille de fonctions est équilispchitzienne s'il existe une même constante de Lipschitz pour toutes les fonctions de la famille.
moi : là j'ai pas trop de difficultées
il faut utiliser la définition
(b) Soit F inclus dans C(X) une famille équilipschitzienne. On suppose qu'il existe x0 qui appartient à X et M inférieur à l'infini tels que, pour toute f appartenant à F, |f(x0)| <= M.
Montrez que l'adhérence de F est une partie compacte de C(X)
Indication : Il existe L>0 tel que, pour tout f appartenant à F et tout x appartenant à X, |f(x)-f(x0)| <= L d(x,x0) "
Moi: c'est là où j'ai un petit pb ; en faite on a montré ds le petit a que toute famille equilipschtizienne etait equicontinue ; dc pour le petit b la famille est forcément equicontinue mais pour montrer que l'adhérence est une partie compacte on peut pas utiliser le théoreme d'ascoli puisqu'il nous manque l'hypothèse que la famille soit bornée ... comment faire ? c'est là ou je suis bloquée -
Et bien tu as une indication dans l'énoncé, tu as l'inégalité triangulaire, tu peux écrire que $f(x)=f(x)-f(x_0)+f(x_0)$ et $X$ est compact, donc borné. A partir de là, à toi de jouer.
-
pour remarque : merci pour ton aide
j'ai un autre exercice à vous montrer:
on rapelle que R^n est complet( quelque soit la norme) et que tout sous-espace vectoriel de R^n est fermé.
(a) montrez que si un sous espace vectoriel V de R^n est d'intérieur vide alors 0 est dans l'intérieur de V. indication: quelque soit x0 appartenant à V et quelq ue soit y appartenant à V, y-x0 appartient à V; de plus l'application y--->y-x0 est un homéomorphisme
(b)montrez que si V est un sous espace vectoriel d'intérieur non vide de R^n alors V=R^n . indication: par (a) 0 est d'intérieur de V on peut donc pour tout x appartenant à R^n trouver t>0tel que tx appartient à V
(c)on déduit de ce qui précède que R^n ne peut s'écrire comme réunion dénombrable de sous espaces vectoriels de dimensions strictement inférieures à n
voilà -
Et où bloques tu?
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des le depart je vois pas comment démarer, à écrire en faite je vois ce qu'il demande
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Il me semble que tu as déjà posé cet exercice en page 1 de ce fil et que j'avais un peu développé la réponse, non ?
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oui mais comment dire je comprend pas pourquoi si on prend y-x0 cela revient à montrer qur 0 est ds l'intérieur de V
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Il faut essayer un peu plus toute seule, chère virginie, si tu veux progresser. Je te conseillede faire un dessin : représente $R^n$ (la feuille) avec l'origine $0$ (un point) et un sous-espace vectoriel $V$ (une droite passant par le point). On suppose que $V$ est d'intérieur non vide, i.e. il existe un point $x_0$ qui est intérieur à $V$, c'est-à-dire qui est au centre d'une boule $B(x_0,r)$ toute entière incluse dans $V$. Donc tu dessines une petite boule autour d'un point de $V$. Reste à comprendre pourquoi on peut faire glisser (translater) cette petite boule le long de $V$, jusqu'à l'origine, c'est-à-dire montrer que $B(0,r) \subset V$.
Sans parler d'homéomorphisme tu peux procéder de manière élémentaire : soit $y \in B(0,r)$, alors il est facile de voir que $x_0+y \in B(x_0,r)$, donc $x_0+y \in V$ et en ajoutant $-x_0$ on reste dans $V$ puisque c'est un sous-espace vectoriel, donc $y \in V$ (essaye de suivre le raisonnement sur le dessin). -
salut.s'il vous plait ,j'ai eu des difucltées conçernant la démonstration de "si 1 espace métrique E est compacte ,alors toute famille de fermés de E possédant la propriété de l'intersection finie admet une intersection non vide"
si pouvez me donner des indications ,merci d'avance
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