Suite de fonctions continues et convergence uniforme

Si par lipschitzienne, tu entends globalement lipschitzienne (et je ne vois pas ce que \c ca pourrait être d'autre, puisque tu demandes les $f_{n}$ de classe $C^1$), \c ca ne me paraît pas possible. Considérons $f(x)=\cos(x^2)$ continue bornée de $\R$ dans $\R$ et soit $g$ telle que $\|f-g\|_{\infty}\le 1/2$. Ceci implique que pour tout $k$ entier, $g(\sqrt{2k\pi})\ge 1/2$ et $g(\sqrt{(2k+1)\pi})\le -1/2$. Par conséquent,
$$\frac{\left|g(\sqrt{2k\pi})-g(\sqrt{(2k+1)\pi})\right|}{\sqrt{(2k+1)\pi}-\sqrt{2k\pi}}\ge 2\sqrt{\frac{2k}{\pi}}\to+\infty\hbox{ quand }k\to+\infty.$$

Tu veux montrer une version du théorème de Peano, donc ? Pour fabriquer une suite qui converge uniformément sur tout compact et qui est globalement lipschitzienne, là pas de problème. Tu prends $\chi_{n}(y)=1$ si $0\le y\le n$, $\chi_{n}(y)=0$ si $y\ge n+1$, $\chi_{n}(y)=n+1-n$ sinon, et $\rho\in C^1(\R)$ à support dans $[-1,1]$ et telle que $\int_{-1}^1\rho(s)\,ds=1$. Il suffit alors de poser $\rho_{n}(y)=n\rho(ny)$ et $f_{n}=\rho_{n}\star(f\chi_{n})$.

Sorry, l'étoile représente la convolution, qui est l'outil standard pour régulariser des fonctions. En clair,
$$
f_{n}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\rho_{n}(y-z)f(z)\chi_{n}(z)\,dz.
$$
Si tu ne connais pas, fais une recherche sur la question, tu vas trouver plein de choses.