convergence L2 et simple
Bonjour
A-t-on la convergence L2 d'une suite de fonctions implique sa convergence simple?
Si je me place dans le cadre particulier des fonctions 2 pi périodiques de carré intégrable on sait que la suite des sommes partielles de la série de Fourier attachée converge dans L2. Je viens de lire dans un ouvrage que Carleson aurait démontré en 1966 qu'en fait on a convergence simple presque partout.
(pour info il paraît qu'il existe des fonctions L1 2 pir périodiques dont la série de Fourier diverge partout)
C'est dûr à démontrer? Une piste?
A-t-on la convergence L2 d'une suite de fonctions implique sa convergence simple?
Si je me place dans le cadre particulier des fonctions 2 pi périodiques de carré intégrable on sait que la suite des sommes partielles de la série de Fourier attachée converge dans L2. Je viens de lire dans un ouvrage que Carleson aurait démontré en 1966 qu'en fait on a convergence simple presque partout.
(pour info il paraît qu'il existe des fonctions L1 2 pir périodiques dont la série de Fourier diverge partout)
C'est dûr à démontrer? Une piste?
Réponses
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> A-t-on la convergence L2 d'une suite de fonctions implique sa convergence simple ?
Non, le contre-exemple c'est $f_n=\mathbf{1}_{A_n}$, où $A_n$ est un intervalle de [0,1] dont la longueur décroit, et qui "balaie" [0,1]. -
Par contre, un théorème souvent appelé réciproque du tcd dit qu'à extraction près, on peut avoir convergence ponctuelle (on le montre quand on fait la preuve habituelle de la complétude de $L^p$, lorsqu'on extrait $u_{\varphi(n)}$ telle que $\sum \|u_{\varphi(n+1)}-u_{\varphi(n)}\|_p<\infty$).
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Merci pour vos interventions. En fait mon introduction était une forme de provocation. La partie intéressante concernant le théorème qu'on appelera théorème de Carleson où justement on a convergence simple.
Lucas: c'est quoi 'balaye" [0,1]
Corentin. je connaissais ce résultat, je crois me souvenir que ca sert en probas. Mais pourquoi l'apperler réciproque de la convergence dominée? -
e=mc3 a écrit:Lucas: c'est quoi 'balaye" [0,1] ?
f_0 : vaut 1 sur [0,1]
f_1 : vaut 1 sur [0,1/2], 0 ailleurs
f_2 : vaut 1 sur [1/2,1], 0 ailleurs
f_3 : vaut 1 sur [0,1/3], 0 ailleurs
f_4 : vaut 1 sur [1/3,2/3], 0 ailleurs
f_5 : vaut 1 sur [2/3,1], 0 ailleurs
f_6 : vaut 1 sur [0,1/4], 0 ailleurs
etc... -
e=mc3 : le théorème de Carleson est extrêmement difficile. Ce n'est vraiment pas du tout une conséquence de la convergence dans $L^2$. Il est vrai dans $L^p$, $1<p\le 2$, mais faux dans $L^1$ avec le contre-exemple que tu mentionnes (de Kolomogoroff, je crois).
Pour la réciproque du théorème de convergence dominée, ce que n'a pas dit corentin, c'est que l'on obtient la convergence pp et une fonction dominante dans $L^p$ par la même occasion, pour une sous-suite. C'est en ce sens-là qu'il s'agit d'une réciproque. Ca ne sert pas qu'en probas, par ailleurs ! -
Est ce qu'on trouve la démo de Carleson dans la dernière édition du Katznelon ou du Zygmund? C'est quoi l'idée directrice de la démo?
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e=mc3> Extrait de Katznelson (édition de 1976): "The proof of these results is still rather complicated and we do not include it"
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Dommage
En attendant, je trouve ce résultat particulièrement élégant et simple. Surtout il permet d'avoir des idées claires et précises concernant ces histoires de convergences. Je pense que le résultat en lui même est plus important que sa démonstration et doit faire partie de la culture générale sur les séries de Fourier (et puis ca évite de dépenser une énergie inutile à chercher des objets qui n'existent pas du genre des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en tout point...). Et pourtant un seul des ouvrages (niveau agreg) que j'ai sous la main mentionne ce résultat. -
Par contre tu trouveras bien dans Zygmund l'existence d'une fonction $L^1$ dont la série de Fourier diverge en tout point.
(enfin j'ai été incapable de lire ce truc, le style est trop daté et fait référence à trop de "théorèmes 4.32") -
C'est bizarre, je croyais que le théorème de Carleson concernait les séries trigos.
Y a t'il un lien entre la convergence de la "bitransformée" de Fourier et celle de la série de Fourier d'une fonction périodique? -
Effectivement, c'est ce qu'il dit en bas de page 31/haut de page 32. Mais on peut faire de la transformation de Fourier sur pas mal de groupes.
Sinon, il y a une correspondance directe entre série et transformation de Fourier pour les fonctions $L^2$ $2\pi$-périodiques. Si tu prends $f=\sum\limits_{k\in\Z} c_ke_k$ avec $e_k(x)=(2\pi)^{-1/2}e^{ikx}$ et $(c_{k})\in\ell^2$, alors $f\in {\cal S}{'}$ et
$${\cal F}(f)=(2\pi)^{1/2}\sum_{k\in\Z} c_k \delta_k.$$
Je ne pense pas que ça aide beaucoup dans le cas présent, bien sûr !
[Corrigé selon ton indication. AD] -
Merci pour le lien
mais je n'ai ni le courage ni le temps de lire une démo qui tient sur 50 pages. -
Ca se comprend ! Mais maintenant, tu pourras dire en toute bonne foi en société que le théorème de Carleson, c'est pas de la tarte ! (:P)
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