Espaces séparables

Victor-Emmanuel0 · August 2007

Bonjour tout le monde, et bonne rentrée à ceux qui sont concernés!

Pouvez vous me dire si mon énoncé est vrai et si tel est le cas, me donner une piste de démonstration? (sinon, m'en donner une pour l'énoncé corrigé?)

Tout sous-ensemble d'un espace séparable est séparable.

(peut-être faut-il être dans un ensemble complet...)

Merci!

PB · August 2007

- Un cas particulier : soit $(E,d)$ un espace métrique séparable et soit $A$ une partie de $E$. Alors $A$ est séparable (en tant que sous-espace métrique).

- On doit pouvoir généraliser en remplaçant "espace métrique" par "espace topologique ou tout point admet une base dénombrable de voisinages".

- Un contre-exemple : soit $E$ un ensemble infini, non dénombrable. Soit $a\in E$ et soit $F$ le complémentaire de $\{a\}$ dans $E$. On munit $E$ de la topologie suivante : les ouverts sont (mis à part l'ensemble vide) les parties de $E$ qui contiennent $a$. On vérifie que c'est bien une topologie. Intuitivement : $F$ est discret mais $a$ est "proche" de tous les points de $F$.
Alors $E$ est séparable car $\{a\}$ est dense, mais $F$ n'est pas séparable car discret et non dénombrable.

corentin · August 2007

Pour le cas métrique, l'idée de la preuve est assez simple: on prend $u_n$ famille dénombrable dense, on prend ensuite $v_{n,k}$ un point dans $B(u_n,1/k)$ (si il existe évidemment), et on vérifie que la famille $(v_{n,k})_{n,k\geq 1}$ convient.
Apparemment -mais je n'ai pas cherché la petite bête- le cas base dénombrable de voisinages s'adapte tel quel.

pioupiou · August 2007

Euh, pour le cas metrique, n'est-il pas plus aise de travailler avec une base denombrable de la topologie ?

PB · August 2007

pioupiou Écrivait:

> Euh, pour le cas metrique, n'est-il pas plus aise
> de travailler avec une base denombrable de la
> topologie ?

En effet

Espaces séparables

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Bonjour!

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