démos du théorème d'Alembert-Gauss

Un polynôme définit une fonction de la droite projective complexe dans elle même. Le degré du polynôme est le degré de la fonction ainsi définie (au sens des topologues : la droite projective complexe est une sphère). S'il est non nul, la fonction est nécessairement surjective.

...et Pabion en donne quatre.

Salut PB,

> "(ii) tout polynôme de $ L[X]$ de degré $ l$ a une racine dans $ L$."

C'est quoi $l$?

Ritchie

Bonjour,

Un numéro de la RMS (octobre 2006), propose un article intitulé :
"Approches analytiques du théorème de d'Alembert-Gauss, un bestiaire".

On y trouve une preuve que j'aime bien. On montre successivement :

lemme : l'infimum de $|P|$ sur $\C$ est atteint pour un certain $z_0 \in \C$.

proposition (inégalité d'Argand) : Soit $P \in \C[X]$ est un polynôme non constant et $c \in \C$ tel que $P(c) \neq 0$. Alors il existe $d \in \C$ tel que
$$|P(d)| < |P(c)|.$$

Preuve du théorème de d'Alembert-Gauss :
D'après l'inagalité d'Argand, $|P(z_0)|$ est nécessairement nul...

Cordialement,

Ritchie

Tiens, on a les mêmes goûts (tu)

Ritchie

Toujours dans cet article de la RMS, on trouve des démonstrations :

- par le théorème de Cauchy
- par le développement en série entière
- par le théorème de Liouville
- par le principe du maximum
- par le théorème de l'application ouverte
- par le théorème de Rouché
- par le principe de l'argument
- par le théorème de Picard
- par le logarithme complexe
- par la formule de la moyenne

Cordialement,

Ritchie

Ritchie Écrivait:

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> Salut PB,
>
> > "(ii) tout polynôme de $ L$ de degré $ l$ a une
> racine dans $ L$."
>
> C'est quoi $l$?
>
> Ritchie

C'est $p$, désolé.

Merci KB, page 53 du Samuel, effectivement :

"Nous allons montrer que $ \C$ est algébriquement clos par une méthode essentiellement due à Lagrange".

J'en ai profité pour comprendre cet appendice, encore merci.

KB a écrit:

Soit un corps (commutatif) K tel que -1 n'y soit pas un carré.
A quelle condition K[X]/(X^2+1) est-il algébriquement clos ?

C'est le cadre de la théorie d'Artin-Schreier des corps réels clos.

On a le théorème suivant (Artin-Schreier): un corps K non algébriquement clos qui admet une extension finie algébriquement close est un corps réel clos, i.e. on peut le munir d'un ordre total compatible avec la structure de corps, et il n'y a pas d'extension algébrique ordonnée non triviale. De plus, la clôture algébrique de K est obtenue en adjoignant une racine carrée de -1.

\begin{enumerate}
\item Il y a des corps réels clos de tout cardinal, donc il y en a qui ne sont pas $\R$ (par exemple $\R\cap\bar{\Q}$). Mais tous sont élémentairement équivalents dans la théorie du premier ordre des corps ordonnés. Autrement dit, si l'on se donne un énoncé du genre:
\[ \forall x \exists y\ \big( P(x,y)\leq 0 \textrm{ et } Q(x,y)=0 \big) \]
avec $P$ et $Q$ des polynômes à coefficients entiers, il est vrai dans un corps réel clos quelconque si et seulement s'il est vrai dans $\R$. Et Tarski a démontré le résultat encore plus impressionnant selon lequel on dispose d'un algorithme fini explicite qui dit, pour n'importe quel énoncé de ce genre, s'il est vrai ou faux. Et c'est un théorème qui contrairement aux apparences a des applications très concrètes (ça dit qu'on peut tout calculer en géométrie algébrique réelle, y compris quand il s'agit de contraintes sur des bras de robot).

\item J'aime beaucoup le petit livre très riche de Ribenboim, \emph{Arithmétique des corps} chez Hermann, qui traite de pleins de jolis sujets et en particulier celui-là. Il n'aborde pas en revanche l'aspect « théorie des modèles » esquissé juste au-dessus, pour lequel je laisse aux logiciens de passage la responsabilité de fournir une référence.
\end{enumerate}

Autre question: histoire de "uper".

Comment prouver que les seuls polynômes irréductibles de $\R [X]$ sont ceux de degré $\leq 2$? (Sans passer, même de manière détournée par $\C [X]$).

(Remarque: le théorème d'Alembert est aussi une conséquence routinière de ce fait précédent)