application continue et ouverte

Bonjour à tout le monde, juste pour poser un problème d'analyse qui me trouble depuis trois jours, en fait on me demande de montrer que toute application $f$ continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et ouverte est monotone. En fait j'ai du ajouté l'hypothèse continue, l'exercice ne stipule pas que $f$ est continue. Merci d'avance.

Réponses

  • Une question (je ne me rappelle plus très bien) : une application est ouverte si l'image d'un ouvert est ouverte??

    Alors:
    Il te faut trouver un ouvert qui, si $\f$ n'est pas monotone, a une image qui n'est pas ouverte (genre $\f$ a un maximum local sur cet ouvert (un intervalle suffit)).

    En espérant t'avoir aidé...
    Teg
  • L'hypothèse $f$ continue est nécessaire en effet.

    Si $f$ n'est pas monotone, alors elle doit avoir un extremum local en un point. L'image d'un voisinage ouvert de ce point n'est alors pas ouvert, ce qui contredit $f$ ouverte.
  • ya un probleme. Les applications constantes sont continues! Sont-elles ouvertes?
  • Non, elles ne sont pas ouvertes, puisque l'image de tout ouvert est un singleton (donc n'est pas ouverte).
  • non elles ne sont pas ouvertes, et effectivement il faut plutôt montrer que f est strictement monotone, à mon avis.
    Teg
  • Ca me fait penser, il y avait un fil où on parlait de fonctions qui n'ont pas de max local, ou un truc du genre.
    Ca rappelle quelque chose à quelqu'un?
  • Bin alors leslie, on confond une proposition et sa réciproque ?

    A lire tes amusantes fictions dans ce fil, j'avais cru comprendre que tu trouvais pas ça tip top.

    Mais bon sans doute n'ai-je pas compris ce que tu voulais dire dans ton intervention à propos des fonctions constantes...
  • Juste pour savoir ce qi en ai si $f$ n'est pas continue.
  • Si f n'est pas continue, on peut par exemple la choisir surjective sur tout intervalle non vide (par exemple le relèvement d'un isomorphisme de R/Q dans R). Elle est alors bien ouverte et certainement pas monotone.

    Pour le cas continu, comme corentin, je suis un peu circonspect quant à la preuve qui a été suggérée. L'existence d'un maximum local ne me paraît pas complètement évident: pourquoi une application continue non monotone possède-t-elle un maximum local au moins? Ça m'a l'air une question du même genre que celle de départ.

    Une autre méthode consiste peut-être à remarquer que si f est continue et ouverte, alors pour tous a<b, f(]a,b[) est un ouvert contenu dans le segment f([a,b]), et que la différence est au plus, donc exactement, {f(a),f(b)}. Ça signifie que pour tout a<b, f([a,b]) = [f(a),f(b)] (sans préjuger de l'ordre des bornes), et f(]a,b[) = ]f(a),f(b)[.

    À partir de là, on peut voir que si f(a) < f(b), alors f est strictement croissante sur [a,b] (et inversement si f(a) > f(b) en changeant de signe, bien sûr). En effet, soient x < y dans [a,b]. On a f(x) < f(b). Si l'on avait alors f(x) >= f(y), f(]x,b[)=]f(x),f(b)[ ne contiendrait pas f(y), absurde.

    Il est facile de conclure ensuite à la stricte monotonie de f sur R.

    [EDIT: on dirait qu'il faut faire attention avec les signes < et >, mal placés il y a du texte qui est avalé]
  • {\it Bin alors leslie, on confond une proposition et sa réciproque ? }

    Deviendrais-je folle? (encore d'une pierre 2 coups!)


    Je répondais à:

    {\it en fait on me demande de montrer que toute application $f$ continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et ouverte est monotone}

    Et j'exibais ce qui me semblait être un exemple d'application continue non ouverte... en me demandant s'il n'y avait pas un problème d'énoncé

    Tu me fais douter!
  • A lire tes amusantes fictions

    Je pourrais me vexer: douterais-tu de ma parole?
  • Il y a une chance sur combien que ce soit par exemple toi qui sois sorti la tête haute (et tétue!) ce jour-là?
  • Et j'exibais ce qui me semblait être un exemple d'application continue non ouverte...

    Ok. Mais quel est le rapport avec la question initiale ?
    Il y a un contexte : f continue (ou pas, éventuellement, car ça n'était pas dans l'énoncé originel, mais qui est alors clairement faux).
    Dans ce contexte, on veut prouver une implication : ouvert => monotone.

    Tu proposes une application continue, monotone et non ouverte, et tu dis qu'il y a donc un problème. Quel est ce problème ?

    Je ne vois guère d'autre façon raisonnable d'interpréter ton message (je ne dis pas que c'est ce que tu as voulu dire, tu es difficile à suivre) que la suivante : "dans notre contexte f continue, l'implication monotone => ouverte est fausse, en voici un contre-exemple".

    Apparemment, ça n'est pas ce que tu voulais dire, d'où mon interrogation : quel "problème" voulais-tu mettre en avant ?

    Je pourrais me vexer: douterais-tu de ma parole ?

    Je ne doute pas de ta franchise.

    Le fait que tes sens te laissent appréhender la réalité objective du monde (le nôtre hein, pas un monde parallèle), c'est une autre affaire...

    Et, oui, j'espérais te vexer (que c'est vilain (:P)).

    Il y a une chance sur combien que ce soit par exemple toi qui sois sorti la tête haute (et tétue!) ce jour-là?

    Déjà, c'est 1 ou l'infini, car cet événement n'est pas aléatoire.
    Il se trouve que je connais la réponse, c'est l'infini. En d'autres termes, il est certain que ce n'était pas moi. :)
  • il est certain que ce n'était pas moi

    Me voila rassurée
    "dans notre contexte f continue, l'implication monotone => ouverte est fausse, en voici un contre-exemple".

    Apparemment, ça n'est pas ce que tu voulais dire, d'où mon interrogation : quel "problème" voulais-tu mettre en avant ?

    ??? Bah c'est pourtant simple!!!!!!!!!!!!!!!! attends je relis en détails
    toute application $f$ continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et ouverte est monotone

    AAAAAAAAAAAAAAAhhhhhhhhh j'ai compris!!

    En fait j'ai lu:
    toute application $f$ continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ EST ouverte ET monotone


    Mea culpa!!!
  • Bonsoir à tout le monde. J'ai un probleme de topologie generale qui est le suivant:


    Soit $f$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide. Soit $a\in \overset{\circ}A$, montrer que $|f(a)|$ est strictement inferieur à $\sup\limits_{x\in A}|f(x)|$. En déduire que toute application ouverte de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est monotone.

    Merci d'avance
  • Il manque sans doute l'hypothèse que $f$ est ouverte ?

    Comme $\overset{\circ}A$ est un ouvert non vide, $f(\overset{\circ}A)$ est un ouvert non vide et $f(a)\in f(\overset{\circ}A)$. Il existe donc un $\varepsilon>0$ tel que $]f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon[{}\subset f(\overset{\circ}A)$. Donc $|f(a)|<|f(a)|+\varepsilon\le \sup\limits_{x\in A}|f(x)|$.


    Par contre, je crois bien que la suite n'est pas correcte, car si je ne m'abuse, on peut construire une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que l'image de tout intervalle ouvert est $\R$.

    Si on la suppose continue, alors c'est sans problème.
  • En effet, j'ai oublier l'hypothèse ouverte dans la première question, mais pour la deuxième question je pense qu'elle est correcte.
    Merci déjà pour la première question.
  • de tout ceci; je ne sais pas si quelqu'un peut montrer qu'on peut enlever l'hypothese continue. merci
  • Ah, c'est sans doute là que j'avais lu ça : une fonction telle que l'image de tout ouvert non vide est $\R$ (cf. post de mt-i un peu plus haut). Donc la réponse est non, on ne peut pas enlever l'hypothèse de continuité.
  • Enfin, non. C'est mal dit. Ce qui est correct c'est de dire qu'il existe une application ouverte non monotone, et qu'elle n'est pas continue (sinon elle serait monotone). Il y a sans doute des hypothèses moins fortes qui marchent comme sci, scs, mesurable, que sais-je...
  • Non point, Seigneur remarque a raison comme c'est presque toujours le cas.

    Sans doute y a-t-il écrit dans quelque préambule que toutes les fonctions considérées sont continues ?

    Si tu es sceptique, voici un exemple. Mais attention faut s'accrocher. Cet exemple est un cas particulier obtenu à partir de la constatation suivante : toute application de $\R$ dans $\R$ $\Q$-linéaire non bornée sur les compacts (cela équivaut à "non continue") a pour graphe un "écran noir" : l'image de tout intervalle non vide non singleton est $\R$.

    Voici donc mon exemple : considère $\mathcal{F}=\{ a_0=\sqrt{2},a_1=\sqrt{3},a_2=\sqrt{5},...,a_n=\sqrt{p_n},...\}$ avec $p_n$ le $n^e$ nombre premier. C'est une famille $\Q$-libre. Notons $V$ le $\Q$-espace vectoriel engendré par $\mathcal{F}$, et soit $H$ un $\Q$-supplémentaire de $V$ dans $\R$.
    Ainsi, tout nombre réel s'écrit $\sum \lambda_i a_i + h$ avec $\lambda_i \in \Q$ et $h \in H$.
    Notons $f$ l'application $\sum \lambda_i a_i + h \mapsto \sum \lambda_{i+1} a_i + h$.

    Montrons que le graphe de $f$ est un "écran noir" (la preuve pour le cas général doit être sensiblement semblable) : soit $I$ un intervalle non vide non singleton, et $x\in \R$ quelconque, il s'agit de montrer $x \in f(I)$.
    Mais $x$ peut s'écrire $x=(\sum \mu_i a_i)+h$, les antécédents de $x$ par $f$ sont donc les $\lambda \sqrt{2} + (\sum \mu_i a_{i+1})+h$ (avec $\lambda$ rationnel quelconque). L'un de ces antécédents appartient-il à I ? Certes oui, par densité de $\{ \lambda \sqrt{2}, \lambda \in \Q\}$ dans $\R$.

    Bon, ayant conscience de ne pas avoir été méga-clair, j'ai cherché une annale de capes qui, je m'en rappelais, parle de ça. Alors bon, finalement, je l'ai trouvée : \lien{http://mathweb.free.fr/enligne/concours/capes/2001/sujet1.pdf}, mais en fait elle n'en parle pas tant que ça...
  • Oups, je n'avais pas vu ce fil.

    J'ai répondu sur l'autre fil.
  • Zut, je viens de voir que mt-i avait déjà réglé son compte à cette question dans ce fil. Bah, comme ça ça te fait deux exemples (bon, qui se ressemblent beaucoup...).
  • Bonjour Lemath

    Le problème quand ou ouvre deux discussions sur des sujets très voisins (voire le même sujet), est que les intervenants répondent à l'un puis sont tentés de répondre la même chose à l'autre, alors soit ils dupliquent leur réponse, soit ils font des pointages croisés d'un fil sur l'autre !
    Le mieux n'est-il pas de fusionner les deux discussions ?
    De cette manière lorsque quelqu'un fera une recherche dans le forum sur le sujet, il trouvera toutes les réponses groupées.

    Alain
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