Analyse fonctionnelle

Bonjour

Soit $K$ un espace topologique compact et $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur K convergeant faiblement vers une fonction continue $f$. On suppose de plus que
$(f_n)$ converge simplement vers $f$.
Comment voir qu'il existe pour tout $\epsilon$ strictement positif une combinaison convexe $g=\Sigma \lambda _{n}f_{n}$ telle que $||f-g||_\infty < \epsilon$

Merci beaucoup

Réponses

  • Il me semble que c'est le théorème de Mazur, si une suite converge faiblement, il existe une suite de combinaisons convexes d'éléments de la première suite qui converge fortement.
    C'est une conséquence du fait que les fermés convexes forts coincident avec les fermés convexes faibles.
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