Distribution

Salut. Pouvez me donner un coup de main pour les exos suivants?(fichier PDF joint)
Merci d'avance

Réponses

  • 1) tu developpes et tu obtiens la distribution qui à phi associe la somme des phi(k)(k) tant que k est dans le support de phi. l'ordre est infini puisque le support peut être aussi grand que l'on veut (ou prendre un support de le forme [n,2n] )


    2) j'ai raisonné par contraposée à chaque fois:

    * si x n'est pas dans le supp(u) , par définition, on peut donc trouver une boule ouverte centrée en x sur laquelle u est identiquement nulle.

    Ainsi la restriction sur (par exemple la boule de centre x et de rayon la moitié de la boule précédente) de la distribution Tu est identiquement nulle.
    x n'est donc pas dans supp(Tu).

    * si x n'est pas dans le supp(Tu) , par définition, on peut donc trouver une boule ouverte centrée en x sur laquelle la restriction de Tu est identiquement nulle.

    Donc la restriction de u sur cette boule est nulle presque partout. Comme u est continue, u est donc nulle sur la boule ouverte centrée en x, x n'est donc pas dans le supp(u).

    3) j'ai pas lu, j'y reviendrais (si j'ai quelquechose à proposer).

    sauf erreurs.
  • 3) je propose pour tout x, de majorer |v(x+h) -v(x)| (pour h suffisament petit) par l'intégrale sur IR de |u(t)| 1[x-a,x+a] 1[x,x+h] puis d'utiliser le théorème de convergence dominée (a est un réel strictement positif et h est tel que x+h soit dans [x-a,x+a]).

    Sauf erreur.
  • 1)je me disais que la somme de la serie devrait etre une diostribution T tel quelque soit phi élemént de D(Omega). T(phi) soit independant de k: comme pour les serie de fonction quoi.
    si je comprends bien votre reponse concernant "l'ordre" vous voulez dire que pour tout compact on peut trouver un élémnt de D(Omega) dont le support coinciderait avec ce compact?
  • Pour la question $3$, des théorèmes de convergence y en a pas 50, et la suite c'est un coup de Fubini si je me souviens bien.
  • C'est difficile sans latex, alors je vais ré écrire ma réponse :

    Il faut prouver que pour tout compact K de $\omega$ , il existe un réel C (qui dépend du compact K ) et un entier m (lui aussi dépend de K) tels que pour tout $\phi$ $C^{\infty}$ ($\omega$) à support compact, on a $|< T, \phi >| \leq C p_{m}(\phi)$

    Où $p_{m}(\phi)$ =$sup_{0 \leq k \leq m }$ $\{ sup_K | \frac{ \partial^{\alpha} \phi(x)}{\partial \alpha_1 \partial \alpha_2 ... \partial \alpha_n} | \}$, avec $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n)$ et $\alpha_1 + \alpha_2 +...+ \alpha_n = k$

    Bref, une fois le compact fixé, tu peux majorer sans finesse.

    Sauf erreurs.
  • Ne faudrait-il pas plutôt montrer que pour $m$ il existe un compact $K$ tel que pour tout $C>0$ il existe $\phi\in\mathcal{D}_K(\omega)$ avec $|< T, \phi >|>C p_{m,K}(\phi)$ ?
  • D'après mes souvenirs de cours (rapidement vérifiés par un coup d'oeil), on part bien d'un compact, de plus j'avoue que je trouve ta déf assez "bizarre".

    Je veux dire, "bizarre" à mettre en oeuvre.

    Bien sûr, je peux me tromper...

    Sauf erreurs.
  • Pour ma part, je dis que $T$ est d'ordre $\leq m$ si pour tout $K$ compact de $\omega$, il existe $C>0$, tel que pour tout $\phi\in\mathcal{D}_K$ on ait $|<T,\phi>|\leq C p_{m,K}(\phi)$.
    Ainsi si je veux montrer que $T$ est d'ordre infini, je vais montrer quelle n'est pas d'ordre $\leq m$ pour tout m, et la négation de ce que j'ai écrit correspond à mon message précédent.
  • je crois avoir compris la raison de notre désaccord:

    J'ai l'impression que nous ne parlons pas de la même chose:

    Dans mon message, qui précède votre premier message, je ne parle que de la façon de prouver que c'est une distribution. C'est dans mon premier message que je donne une façon (sommaire avec les compacts de la forme [n,2n]) de prouver que l'odre est infini.

    Alors que vous ne parlez que de la façon de prouver que l'odre est infini.

    Sauf erreurs.
  • Dans ce cas il suffit juste de montrer que $T$ est la limite ponctuelle d'une suite de distributions, ici la suite des sommes partielles de la série qui définit $T$.
    C'est plus ou moins immédiat puisque si $\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors $<T,\phi>$ est une somme finie à cause du support compact de $f$.
  • Mais le théorème qui dit qu'une limite ponctuelle de distribution est une distribution est un théorème plutôt sophistiqué il me semble (Banach Steinhaus non normé), la solution d'Airy a le mérite d'être élémentaire.
  • Sauf erreur de calcul:
    Prends un compact dont l'intérieur contient $m_0+1$, prend ensuite une fonction $\varphi$ dont le support est centrée en $0$ et dont la dérivée d'ordre $m_0+1$ est non nulle (au pire, admet qu'elle existe), puis utilise la suite $\varphi(2^n(x-(m_0+1))$ (la suite des dérivées d'ordre $m_0+1$ diverge beaucoup plus vite que la somme des précédentes).
  • L'idée, c'est que quand tu dérives $k$ fois la fonction $\varphi(\lambda x)$, tu as $\lambda^k$ qui sort, et pour peu que $\lambda$ soit assez grand, la quantité $|\lambda^k\varphi^{(k)}(0)|$ est beaucoup plus grande que $\lambda^p\|\varphi^{(p)}\|_{\infty}$ pour $p<k$, et donc on n'a pas la majoration qui correspond à une distribution d'ordre finie.
  • Excuse moi de ne pas comprendre rapidement mais quelle partie du cours me permet de dire que valeur absolue de (...) est plus grand la norme quand p<k?
  • La partie du cours qui te dit que $x^n$ tend vers l'infini plus vite que $x^m$ pour $n>m$.
    Mais normalement ça date un peu comme cours. :)
  • Tu peux aller voir ici, j'avais fait cet exo en maîtrise :
    http://gillianseed.free.fr/maths/Devoirs/distrib/ (page 3)
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