Classique de chez classique

Robert Mireille
Robert Mireille
dans Arithmétique
Bonjour,
soit une suite de $r_n$ de rationnelle qui converge vers un irrationnel $x$.
Il existe $ (p_n,q_n) \in N^{N}$ couple d'entiers premiers entre eux tel que : $r_n =\frac{p_n}{q_n}$ . Montrer que :

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty}p_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} q_n=+\infty \]

Je cherche une démonstration clair de ce résultat,celle qui est proposé par le livre est à mon goût trop compliqué.

Cordialement.

Réponses

  • léo2
    léo2
    pour t'aide à commencer:
    en procédant par l'absurde, et en utilisant le fait que une suite d'entiers convergente est stationaire à partir d'un certain rang...
  • aléa
    aléa
    Si une des deux suites ne tend pas vers l'infini, elle a une sous-suite bornée.
    Alors, tu peux montrer que la sous-suite correspondante chez sa copine est bornée aussi: cela va te donner une sous-suite de $(x_n)$ à valeurs dans un ensemble fini de rationnels. Comme cette sous-suite converge vers $x$, il y a un problème.
  • KB0
    KB0
    Bonjour Bob Mim.

    Tu as implicitement supposé x positif.

    Progression possible, inspirée par Alea que je salue et remercie.

    1) On peut supposer que, pour tout n, qn > 0.

    2) On suppose que qn ne tend PAS vers +inf.
    a) Prouver que l'on peut en extraire une suite bornée.
    b) Prouver que l'on peut en réextraire une suite constante.

    3) On procède aux mêmes extractions sur la suite des pn.
    a) Prouver que la suite ainsi extraite est convergente.
    b) Prouver que cette suite est stationnaire, i.e. constante à partir d'un certain rang.
    C'est l'argument de Leo, que je salue et remercie.

    4) On procède à la même extraction sur la suite rn.
    a) Prouver que la suite ainsi extraite est stationnaire.
    b) Conclure quant à la suite qn.
    c) Conclure quant à la suite pn.

    Cordialement.
  • Robert Mireille
    Robert Mireille
    Parfait
  • christophe c
    christophe c
    Ici encore IST rend les choses plus courtes:

    Soit $n$ supergrand. Comme $\frac{p_n}{q_n}$ est proche de $x$ irrationnel standard, $q_n$ est forcément supergrand (sinon $\frac{p_n}{q_n}$ est standard ou infini). $p_n$ est aussi supergrand, sinon $x=0$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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