distribution de Dirac

Bonjour,

J'aimerais savoir comment on définit la distribution de Dirac en dimension N et quelles en sont les propriétés. En traitement du signal, on a coutume de définir le Dirac comme une impulsion temporelle et comme dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside.

Quelle définition en dimension supérieure (variable dépendant de l'espace typiquement) ? Existe-t-il une définition de la fonction de Heaviside en dimension supérieure et si oui comment la relier à la distribution de Dirac en dimension supérieure ? Je n'ai pas trouvé sur le net des cours qui traitent du Dirac en dimension supérieure à 1 (en espace).

J'ai simplement trouvé sur Wikipedia que la distribution de Dirac en dimension supérieure pouvait être définie comme un produit des impulsions de Dirac en 1D... sans d'autres détails ...?

Merci d'avance.

Réponses

  • Le dirac est simplement la distribution qui à $f$ associe $f(0)$, le passage en dimension supérieure ne pose pas de problème donc.
  • guillaume_50 Écrivait:
    > J'ai simplement trouvé sur Wikipedia que la
    > distribution de dirac en dimension supérieure
    > pouvait etre definie comme un produit des
    > impulsions de dirac en 1D...sans d'autres
    > détails..?


    Si maintenant faut croire tout ce qu'il y a écrit sur Wikipedia... :D
  • C'est très mal dit, mais c'est vrai:

    $\delta_{(0,0,0)}=\delta_0\otimes\delta_0\otimes\delta_0$.
  • Bonjour alea,
    Pouvez-vous m'en dire davantage sur votre definition , explicitez votre notation et les propriétes...!Avez vous une reference biblio avec vos notations et votre definition?Pouvez-vous m'en dire un peu plus?

    Merci d'avance
  • Ok merci alea, je vais étudier la definition de la masse de dirac au sens de la theorie de la mesure et tenter d'éclaircir tout ça.

    Par contre, dans le cas de la mesure de Dirac au sens des distributions en dimension N, on ne peut pas la relier à une fonction de Heaviside plus generale??
    En d'autres termes, en dimension N , peut-on la definir comme la derivee d'une fonction, laquelle??un produit de fonction de Heaviside??
  • Oui, par ex en dimension 2, $\delta_0=\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}[H(x_1)H(x_2)]$.
  • bonjour remarque
    Pouvez-vous dévelloper un peu votre affirmation..
    Merci
  • Ma femme apprécie le char de Dirac.

    [Bernadette ? ;) AD]
  • Je crois que sur IR² le laplacien de la fonction x-->log(||x||) convient à une constante multiplicative prêt.
  • Dîtes donc Monsieur Le Président, un peu de tenue...;)
  • La verve de Jacques joyeuse.
  • ERRATUM

    La verve de Jacques est joyeuse.
  • La fermière qui vit aux champs sent sa poule qui mue...:D
  • (Pour rester dans le bucolique ...)
    Les nouilles cuisent au jus de canne.B-)-
  • pour suivre KB:
    le jeune fromager écarte les puces de la faisselle...
    :D
  • Pour revenir sans revenir ...

    Dirac a un pêché mignon : jurer sur un fondement posé.
  • Attention, il n'y a pas de contrepèterie dans ce qui suit, en tout cas pas volontaire (oui, je sais c'est pas drôle). Donc réponse à Guillaume\_50. On calcule la dérivée seconde croisée de $f(x_{1},x_{2})=H(x_{1})H(x_{2})$ où $H$ est la fonction de Heaviside. Pour tout $\varphi\in{\cal D}(\R^2)$, on a
    $$
    \Bigl\langle \frac{\partial f}{\partial x_{1}},\varphi\Bigr\rangle=-\Bigl\langle f,\frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}\Bigr\rangle=-\int_{0}^\infty\!\!\!\int_{0}^\infty\frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2})\,dx_{1}dx_{2}=\int_{0}^\infty\varphi(0,x_{2})\,dx_{2},
    $$
    d'où
    $$
    \Bigl\langle \frac{\partial^2 f}{\partial x_{1}\partial x_{2}},\varphi\Bigr\rangle=-\Bigl\langle \frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}\Bigr\rangle=-\int_{0}^\infty\frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}(0,x_{2})\,dx_{2}=\varphi(0,0)=\langle\delta_{0},\varphi\rangle.
    $$
    Je te laisse généraliser en dimension quelconque.
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