Suis-je la Reine d'Angleterre ?

C'est vrai sur tout corps commutatif.

Non, c'est une histoire de degré : 3=2+1, ça n'a pas à voir avec la couronne d'Angleterre pour le coup.

Dans le cas de R, c'est bien ça. Mais sur un corps qui a des extensions de degré 3, la propriété est non trivialement vraie.

Eh bien tout est dit je crois.
Un grand merci à Mt-i et Corentin, que je salue.
Très cordialement.

Il n'y a pas de résultat général je crois (arrêtez-moi si je me trompe): dans un corps fini, il existe des polynômes irréductibles de tout degré; dans $\Q$, tous les polynômes cyclotomiques sont irréductibles.

Amicalement

1) L'implication représentée par $\to$ ou par $\Rightarrow$
2) la "conjonction" (je la rajoute, en fait, pour pouvoir éventuellement généraliser à des conjonctions infinies, mais ce ne serait même pas obligatoire)



Les règles de la logique minimale sont:

1) si une liste d'hypothèses $L$ dans laquelle figure $A$ permet de prouver $P$ alors t'as le droit de dire que $L-A$ (liste à laquelle t'as enlevé $A$) permet de prouver $A\to P$ (nom de cette regle {\it abstraction})

2) si pour chaque $i$ tu peux prouver $A_i$ from $L$, alors t'as le droit de dire que tu peux prouver la conjonction des $A_i$ avec les hypothèses de $L$

3) si tu peux prouver $A$ et aussi $A\to B$ avec une liste $L$, alors t'as le droit de dire que tu peux prouver $B$ avec les hypothèses de $L$.

Avant de parler de $non(A)$, encore faut-il lui donner un sens.

Dans ce paradigme, le seul moyen "crédible" de "nier" quelque chose est de dire qu'il implique "tout".

Par exemple: "médor n'aboie pas" peut se dire "si médor aboie alors tout arrive" (d'ailleurs, je ne les ai pas en tête, mais il y a des réflexes linguisitiques populaires de ce style (sur le déluge, etc))

Définition: $nonA:=A\Rightarrow tout$



Abréviation: $0:=tout$ (appelable aussi "le faux")

Et voilà, on passe de la logique minimale à la logique intuitionniste avec cette notion de "tout"...

"A ou B" doit être la borne inférieur de toutes les phrases qui sont entrainées à la fois par A et par B.


Passage à la logique classique: ce que les gens appellent souvent le raisonnement par l'absurde, et dont parfois ils ignorent qu'il est équivalent au tiers exclus est {\bf l'axiome} suivant:

si $(A\to 0)\to 0$ alors $A$.

{\bf C'est un axiome!} On ne parvient pas à le prouver en logique intuitionniste.

Le fait que $tout\Rightarrow $n'importe quoi est une évidence (axiome plus acceptable que "$faux\Rightarrow $n'importe quoi")

KB Écrivait:

---

> 1)peut-on EXPLICITER SIMPLEMENT un tel
> polynôme irréductible de degré n ?
>
> 2) cette partie est-elle TOUT N\{0},
> comme pour tout Fp ?

1) Il me semble que non; d'autre part je crois que l'on montre l'existence de $\mathbb{F}_{p^n}$ pour tout $n$ en montrant (de manière non constructive) l'existence de tels polynômes irréductibles, ce qui peut se faire en considérant les diviseurs des polynômes cyclotomiques ou d'une autre façon (il faut que je revoie tout ça...)

2) Je dirais oui: en utilisant Eisenstein (mais la démonstration peut peut-être se faire directement), si $p$ est premier (en particulier $p=2$), $X^n+p$ est irréductible sur $\Z$ (donc sur $\Q$ modulo le lemme de Gauss).

Amicalement