calcul d'une integrale generalisee

bonjour

pour a > 1 je connais deux méthodes pour aboutir au résultat de ton intégrale

intégrale de 0 à l'infini de dt/(1+t^a)=(pi/a)/sin(pi/a)

si a est entier naturel la méthode la plus élémentaire consiste à décomposer la fraction 1/(1+t^a) en fractions simples dont le dénominateur est du premier degré ou du second degré en t;

on part pour cela de la décomposition du binôme 1+t^a de degré a en facteurs du premier et du second degré (décomposition toujours possible)et par dérivation des logarithmes on arrive à la décomposition de la fraction 1/(1+t^a)

puis par intégration successive de chaque fraction on parvient au résultat (je l'ai fait par acquis de conscience; c'est long mais on y arrive)

pour a quelconque réel supérieur à 1 il existe une méthode très rapide liée aux applications des séries alternées de Riemann Za(p)=1-1/2^p + 1/3^p - 1/4^p +....

on pose a=1/x avec 0 < x < 1 et on cherche les développements polynomiaux

l'intégrale de 0 à 1 de dt/[1+t^(1/x)]=1-x.Za(1)+x².Za(2)-......

l'intégrale de 1 à l'infini de dt/[1+t^(1/x)]=x.Za(1)+x²Za(2)+.....

la somme des deux intégrales donne: 1+2x²Za(2)+2x^4.Za(4)+......
qui est le développement polynomial caractéristique de pi.x/sin(pi.x)


cordialement

Michel,
le fichier ci-joint contient l'énoncé d'un problème (pas très difficile) où on propose une méthode "élémentaire" de calcul de cette intégrale, différente de celle du Gourdon (élémentaire = sans analyse complexe).

Ca va pas etre élémentaire puisque ca utilise les résidus mais c'est assez facile :

On regarde $f(z)=\frac{1}{z^a+1}$ qu'on va chercher à intégrer sur un chemin donné par une partie du cercle de centre $O$ et de rayon $R$ (voué à tendre vers $+\infty$).

Je sais pas le dessiner ici mais je peux donner les trois morceaux : le segment joignant les points de coordonnées $(0,0)$ et $(R,0)$, l'arc de cercle joingnant les points $(R,0)$ et $(Rcos(2a),Rsin(2a))$ et enfin le segment joignant les points $(Rcos(2a),Rsin(2a))$ et $(0,0)$ (avec un dessin, c'est d'une clarté absolue (:P)

Et après, on utilise la procédure habituelle pour trouver le résultat annoncé plus haut

bonjour

je profite du message de Michel pour signaler une autre intégrale proche de la sienne:

intégrale de 0 à l'infini de dt/(1-t^a) = (pi/a)/tan(pi/a)

avec a réel supérieur à 1; la divergence pour t=1 de la fonction à intégrer est compensée dans l'intégration de 0 à l'infini

les deux méthodes indiquées précédemment peuvent être utilisées ici

on peut vérifier la compatibilité des résultats des deux intégrales avec
l'intégrale de 0 à l'infini de dt/(1-t^2a) = (pi/2a)/tan(pi/2a)

il suffit de décomposer la fraction 1/(1-t^2a)=(1/2)[1/(1+t^a) + 1/(1-t^a)]
et utiliser la relation trigonométrique 1/sin(pi/a) + 1/tan(pi/a) = 1/tan(pi/2a)

le résultat de l'intégration (pi/a)/tan(pi/a) est fonction croissante de a et bornée par 1 (limite atteinte pour a infini)


cordialement

J'avais exposé une méthode ici.

Bonjour,
un dernier yoyo pour ce message (cf question relative à Pabion), qui ensuite ira faire dodo.
Amicalement.

Merci aléa; dans le contexte du Pabion, "une methode elementaire" ( j'ai repris son expression) signifie changements de variable, IPP,...je suppose, uniquement de l'analyse réelle.
Ce qui est le cas de son exemple.

[Suite à l'interrogation précédente d'alea, j'ajoute accepter comme élémentaire tout résultat faisant intervenir les fonctions spéciales de JJ, sans passer par les résidus.]