Bissectrice d'un parallélogramme

Domi
Domi
dans Géométrie
Bonsoir

Un petit retour aux sources avec un problème de niveau collège ( si on donne "quelques" indices ) .

Soit $ABCD$ un parallélogramme , $P$ un point de $[AB]$ et $Q$ un point de $[BC]$ tels que $AP=CQ$ . $[AQ]$ et $[CP]$ se coupent en $R$ , montrer que $[DR)$ est la bissectrice de $\widehat{ADC}$ ?

Amusez-vous bien !

Domi

PS : je n'arrive pas à joindre d'image , si tous les forum fonctionnaient à l'identique !

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    La rentrée c'est vers le 5 septembre... Bon, j'ai compris, tu ne le dis pas, parce que tu n'oses pas demander, mais tu veux un geogebra!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Amusez-vous bien !

    Domi

    PS : je n'arrive pas à joindre d'image , si tous les forum fonctionnaient à l'identique !

    Je ne sais pas si on va "s'amuser", mais pour l'image, j'ai mis un point d'honneur à la proposer lol (ça m'a pris 20 mn sans voir le tps passer, c'est que ca rigole pas ces petites bestioles...)



    Bon effectivement tu ne nous as pas menti.... C'est vraiment la bissectrice!

    http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/domi_le_rigolard_aoutien.php

    j'essaie un truc: <a href="http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/domi_le_rigolard_aoutien.php">SI VOUS VOULEZ VOIR L'IMAGE... CLIQUEZ</a>
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    Désolé ,java je peux la danser mais pas mon vieux PC qui aurait tendance à te dire M... , ce n'est que son avis (:P)

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    Quand quelqu'un nous dit "merde" pour notre bien, je crois que ça porte malheur de dire "merci"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    Mon PC ne disait que M... . A part des effets de manches je n'ai pas vu l'ombre d'une solution !!!!

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    A part des effets de manches

    Je m'étrangle de regret... Les 20mn de ma life que j'ai passées à faire un geogebra pour "visualiser" ta question t'appelles ça des effets de manche....

    Non, mais j'hallucine! Tu dois faire partie du club des gens qui me trouvent infréquentable, je te causerai plus zamais zamais!

    Alors sache que... Les figures "geogebra" on peut les bouger dans tous les sens, il faut juste cliquer une première fois pour réchauffer le tout (j'ai tendance à metre en vert les points qu'on peut "bouger" librement, et en d'autres couleurs les points contraints)... Evidemment faut avoir un pc opé
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Domi
    Domi
    Désolé j'ai pas geogebra et ça ne me manque pas ( faut quand même être con ) mais j'arrive quand même parfois ( en rampant ) , à faire un peu de géométrie : mille pardon !!!

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    Ah, c'est pas mon habitude de faire de la pub, mais geogebra, faut quand-même reconnaitre que pour l'utilité publique...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Remarque0
    Remarque0
    Cher cc, permets-moi juste de te corriger sur un point de détail, il ne faut pas, mais plutôt il suffit d'avoir un PC (je sais pas trop ce que veut dire) opé. Sur Mac, ça marche aussi et ta figure est très, très jolie.
  • Domi
    Domi
    Justement mon cerveau donnait des signes de fatigue , je vais suivre ton conseil et prendre un geogebra ! Priez pour moi !!!

    Domi
  • christophe c
    christophe c
    Merci... J'ai suivi les consignes de Domi: le problème et en même temps le charme de ces logiciels de géométrie c'est qu'on s'éloigne de la preuve en quelques sortes. Le fait de constater que c'est vrai (tel ou tel résultat) le rend dans la plupart des cas comme un tour de prestidigitation...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GG
    GG
    salut Domi,
    AQ coupe CD en K, la parallèle à PC passant par K coupe AB en L.

    DK/AD = CK/CQ = PL/AP = KR/AR

    => DR bissectrice

    (si Q=B, faire le raisonnement avec CP, et si Q=B=P, c'est un losange et DB bissectrice)
  • christophe c
    christophe c
    Texte:
    Bonsoir

    Un petit retour aux sources avec un problème de niveau collège

    (fin de ) Copie de GG:
    DK/AD = CK/CQ = PL/AP = KR/AR

    => DR bissectrice


    heureusement que je suis parti du collège, alala, que la vie est dure quand on est ado...
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GG
    GG
    Quoi, t'aimais pas la géométrie élémentaire ?!
  • christophe c
    christophe c
    Très franchement? Je ne sais plus...

    Mais le fait qu'une égalité entre 4 rapports de longueur implique qu'une certaine demi-droite est bissectrice d'un angle me parait un peu au-dessus de mes forces de mec qui a absorbé en gros 8 bordeaux (verres de) s'il était réincarné en "ziva" de 13,5ans de banlieue (même sud) de Paris... Sans vouloir offenser la grande sagesse de ta réponse sur laquelle mon état ne me permet pas de me prononcer sur le fond (comme diraient les juristes)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • bs
    bs
    Joli exercice Domi,

    Dans Leçons de Géométrie à l'usage de l'Enseignement Secondaire des Jeunes Filles par Mme A.Salomon. ( Vuibert 1926 ). Classes de Troisième et de Seconde.

    Sur le parallélogramme, ces deux exercices par exemple:

    > Exo 51: Les bissectrices extérieures des angles d'un parallélogramme se coupent en formant un rectangle dont la somme des diagonales égale la somme des côtés du parallélogramme.

    > Exo 53 : Les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets d'un parallélogramme sur les diagonales sont les sommets d'un parallélogramme.

    Je n'ai pas terminé le 51 lorsque je l'avais entrepris, il y a quelques années...
  • GG
    GG
    exo 51:

    les triangles ADD' et CBB' sont isométriques,
    les triangles CDC' et CBB' sont semblables,

    B'C'/CC' = 1 + B'C/CC' = 1 + BC/CD
    D'C'/DC' = 1 + DD'/DC' = 1 + BC/CD

    les triangles B'D'C' et CDC' sont donc semblables et

    B'D' = CD(1 + BC/CD) = BC + CD
    7053
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Bonjour,

    pour une fois que j'arrive à faire des exos posés sur "les-mathematiques.net"!!

    Pour CC :

    pour montrer que DK/AD=KR/AR => DR bissectrice de l'angle D :

    appliquer la formule des sinus dans les tri ADR et DRK. Cela dit c'est vrai que le'implication ci-dessus est un peu abrupte.


    Pour bs (salut!) :

    soit ABCD le parallélogramme de départ, A', B', C', D' les projetés. O l'inter des diagonales de ABCD.
    dans AOA' : A'O/OA=cos(A'OA)
    dans COC' : C'O/OC=cos(C'OC)
    (A'OA)=(C'OC) et OA=OC
    d'où :
    A'O=OC'(1)
    On refait la même chose avec D' et B'
    On arrive à :
    D'O=OB'(2)

    (1)+(2)=>A'D'C'B' parallélogramme.
    Mais tu avais certainement trouvé!

    Je ne connaissais pas la propriété utilisée par GG pour la bissectrice... j'en apprends tous les jours ici! :)

    A+

    Emmanuel
  • Columbo0
    Columbo0
    ...appliquer la formule des sinus...

    Qu'appelles-tu la formule des sinus?

    Le fait que dans un triangle donné, on multiplie par un même nombre pour passer d'un angle à la longueur de son côté opposé?
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Bonsoir Columbo :

    soit ABC un triangle qcq, on a :

    BC/sinA=AB/sinC=AC/sinD

    c'est ça la "formule des sinus"

    A+

    Emmanuel
  • GG
    GG
    Cela dit c'est vrai que le'implication ci-dessus est un peu abrupte.

    On peut déjà résoudre de très nombreux problèmes de géométrie élémentaire rien qu'avec quelques théorèmes de base (qu'il est profitable de ne pas oublier) parmi lesquels Thalès, Ménélaïus (Ceva) et :

    Dans un triangle ABC, la bissecrice intérieure issue de A coupe BC en un point P tel que PB/PC = AB/AC.

    Dém: Soit Q sur la droite AB tel que A entre B et Q et AQ = AC.
    2 x angle BAP = angle AQC + angle ACQ , angle BAP = angle AQC, AP // QC , et par Thalès,

    PB/PC = AB/AQ = AB/AC.
  • bs
    bs
    Bonsoir,

    Emmanuel, ma grand-mère ( oui, c'est son livre ) n'avait pas accès à la trigo ou aux relations métriques dans le triangle pour résoudre ces exercices.

    GG: non plus aux triangles semblables !

    D'accord, on est en 2007, et il faut vivre avec son temps:) Cependant, j'avais essayé de résoudre ces exercices avec les munitions dont ma grand-mère disposait.

    Merci pour vos réponses.
  • GG
    GG
    bs, sans faire appel aux relations métriques, comment envisager de résoudre un problème qui s'exprime par une relation métrique (longueur d'une diagonale du rectangle égale somme des longueurs de deux côtés adjacents du parallélogramme) ? :)
  • bs
    bs
    GG: tu n'utilises pas les relations métriques dans le triangle, mais les triangles semblables, et ça, c'était pas dans le cours...
    Vais regarder le foot.
  • Columbo0
    Columbo0
    Ma langue a fourché...

    effectivement, je voulais parler du fait qu'on multiplie par un même nombre pour passer du {\bf sinus} d'un angle à son côté opposé (j'ai oublié d'écrire "sinus")

    Je trouve cette formule trop élaborée par rapport aux contraintes (collège) qu'a mis l'auteur du fil. D'ailleurs, quelle jolie preuve de "la formule des sinus" peut-on proposer?
  • GG
    GG
    bs, alors je serais très intéressé de connaître un argument sans emploi de la similitude, ayant essayé un bon moment, mais en vain, de montrer directement que les diagonales du rectangles sont parallèles aux côtés du parallélogramme (ce qui résoud aussi le pb). Avis aux "fous" de géométrie, Domi, peut-être ? :)
  • GG
    GG
    Columbo, avec la considération d'une hauteur, c'est immédiat, non ?
  • Columbo0
    Columbo0
    {\it Columbo, avec la considération d'une hauteur, c'est immédiat, non ?}

    Attends, je réfléchis: dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle non droit est donné par côté opposé/hypoténuse (je me gourre pas j'espère).

    Bien..

    Le problème pour moi, là, c'est que la hauteur qui partage en parts (éventuellement différentes) le triangle initial en 2 triangles rectangles va engendrer "deux" hypoténuses (ceux de chaque triangle rectangle) {\bf différents}, donc je dois me gourrer...

    (Ca donne même l'impression de fausseté de la formule si on va trop vite)
  • Columbo0
    Columbo0
    Je ne doute pas qu'elle se démontre en 10 lignes un peu virtuoses, mais c'est vrai que ce n'est pas très "collège"...
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Bonsoir,


    Démo simple de la formule des sinus (avec bonux... heu bonus pardon :) )

    Soit ABC un triangle qcq.
    Soit O le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
    Soit H la hauteur du triangle BOC issue de O

    1°) d'après le théorème de l'angle au centre on a :
    angle(BAC) = angle(A) = 1/2 angle(BOC)

    2°) OBC est isocèle en O, on a donc :
    angle(BOH) = angle(HOC) = 1/2 angle(BOC) = angle(A) (d'après 1°)

    3°) BOC étant isocèle, OH est à la fois hauteur, médiane et médiatrice; donc HC=BC/2

    4°) dans OHC, rect en H, on a :
    sin(OHC) = HC/OC = HC/R (avec R rayon du cercle circonscrit à ABC)
    soit :
    sin(OHC) = BC/2R (d'après 3°)
    soit encore :
    sin(A) = BC/2R (d'après 2°)

    5°) on réitère la démo avec les angle B et C, et on arrive à la formule avec le bonus :

    sinA/BC = sinC/AB = sinB/CA = 1/2R

    Je pense que c'est tout à fait collège, en plus ça oblige l'élève à refaire 3 fois la démo, et donc à bien retenir les points importants : angle au centre, médiatrice-hauteur dans un tri isocèle, trigo avec les sinus dans un tri rec.

    Voili-voilou.


    A+

    Emmanuel
  • GG
    GG
    en une ligne, Columbo : sin a = H/B, sin b = H/A, donc A/sin a = B/sin b (= C/sin c, en échangeant le rôle de B et C)
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Bernard :

    tu veux dire qu'elle n'avait pas accès non plus au théorème de Pythagore???

    De quelles munitions disposait-elle?


    A+

    Emmanuel
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    pour GG :

    une ligne, certes... mais y a pas l' bonus!! ;)
  • Domi
    Domi
    Une petite intervention ( les journées ne sont pas assez longues ) .

    Pour le 1er exercice j'avais utilisé la méthode GG pratiquement au mot près . L'égalité de la bissectrice d'un triangle sert beaucoup dans ces petits exercices , elle n'est pas au programme de collège mais elle peut se montrer en application de Thalès ( comme l'a rappelé GG ) .
    Pour l'exercice 51 de bs , je ne sais pas trop de quels outils disposait sa grand-mère . Si elle connaissait les symétries ( je reprends les notations de GG ) , on note M le symétrique de A par rapport à (C'D') et N le symétrique de C par rapport à (A'B') , alors AMCN est un parallélogramme de médiane [B'D'] et on a immédiatement les égalités de longueur .

    Domi
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Voilà exos 51-53 avec les outils de 1926 ( je n'avais pas fini le 51 )
  • GG
    GG
    bien vu, Domi :)
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Bien l'bonjour la compagnie!

    bon, que j'voudrai point manquer d'respect à M'sieur BS, hein! Qui faut ben étes d'accord l'ad'sus, mais, m'est d'avis, hein... m'est d'avis que :

    "TR. RECT ayant hypoténuse + angle aigu égal => TR-EGAUX" (c'est affirmativement que c'qui ya dans l'pdf!)

    ben.... ça m'a tout l'air d'ête du trrriangles semblables déguisés...

    Bon l'est l'heure de casser la croûte, de dieu! :)

    Allez, à la bonne vôtre!

    Père Gustave à Montvachoux en Combrailles
  • Columbo0
    Columbo0
    Merci à Emmanuel pour sa flamboyante démontration avec le cercle circonscrit et les angles inscrit

    GG: {\it en une ligne, Columbo : sin a = H/B, sin b = H/A, donc A/sin a = B/sin b (= C/sin c, en échangeant le rôle de B et C)}

    Que signifie "sin a=H/B" (précisément, que signifie "H/B": fais-tu référence à des notations affines?)

    Pour Emmanuel (un détail purement typo, mais on sait jamais, s'il y a des gamins qui trainent au mois d'aout sur le forum):

    {\it sinA/BC = sinC/AB = sinB/CA = 1/2R } plutôt que $2R$ (je crois, de toute façon, l'inverse d'une distance ne peut pas être une distance)


    {\it ...ça oblige l'élève à refaire 3 fois la démo...}

    J'espère qu'il y a des élèves qui auraient conscience de la symétrie du raisonnement et ne le feraient qu'une fois
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    La preuve dans un cas particulier (avec des angles donnés et une figure à tracer) est faisable dès la cinquième.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Merci bcp Columbo... c'est corrigé! :)

    Oui évidemment, ce que je voulais dire c'est que mentalement il refait la démo, ou alors une fois par écrit avec un autre angle, et de ce fait, finalement, il voit que ce n'est qu'une histoire de permutation... Tu sais je pense qu'il ne faut pas aller trop vite quand on fait une démo : certains élèves vont saisir très vite le raisonnement avec permutation, d'autres auront bcp plus de mal...

    Merci encore pour ton attentive relecture!

    A+

    Emmanuel
  • bs
    bs
    Oui Emmanuel, tu as raison.

    Un exo de math proposé au bac Besançon vers 1910 qui devrait te plaire:) Texto:

    Résoudre un triangle sachant que les trois côtés sont de la forme: x, x+1, x+2,
    et que le plus petit et le plus grand angle sont de la forme: X, 2X.

    As-tu remarqué qu'il existe un autre anti-Einstein...

    Amicalement.
  • columb0
    columb0
    As-tu remarqué qu'il existe un autre anti-Einstein...

    Tu parles de "Algibir"?

    Honnetement, ses propos sur la notion de tribu, de palestine volée, mélangés avec les réactions des autres concernant le fait d'être juif ou me donnent plus l'impression que son "anti-Einsteinisme" affiché était un prétexte pour écrire tout le reste (palestine, etc)

    Je ne vois pas l'utilité de discuter la légitimité d'une popularité scientifique, puisque celle-ci n'est de toute façon pas décidée par des instances offcielles.

    A noter que le prix Nobel d'Einstein a été décerné pour ses travaux "quantiques" champ dans lequel, pour le moins, il n'a pas été considéré comme infaillible.

    Quant à savoir "qui" le considère comme le père de la relativité, à mon avis, là où il est, il s'en fout un peu
  • Domi
    Domi
    bs , tu peux me rappeler le nombre de candidats au BAC en 1910 et le pourcentage de réussite ? Je crois que le repasserai l'an prochain ( je regarderai quand même un peu plus , je pense avoir trouvé x :)o) .

    Domi
  • Domi
    Domi
    Vite fait et j'espère bien fait avant de me coucher :

    les côtés 4 , 5 et 6 ( une petite équation du 2ème degré ) et les angles 41,4° , 55,8° et 82,8° ( arrondis au dixième de degré ) .

    Amusant de voir le niveau en géométrie à l'époque , mais il y a tellement d'autres choses à voir aujourd'hui et avec de moins en moins de temps !!!

    Domi
  • GG
    GG
    salut Domi,
    je confirme 4,5,6 et arcos 3/4, 180°-3arcos 3/4, 2arcos 3/4.

    Amusant de voir le niveau en géométrie à l'époque , mais il y a tellement d'autres choses à voir aujourd'hui et avec de moins en moins de temps !!!

    D'un autre côté, si on a vu le th du sinus (qui est trivial) et qu'on sait calculer sin 2a, et donc sin 3a, ce n'est pas tellement sorcier, mais bon ... :)
  • bs
    bs
    Bonjour,

    C'est effectivement la solution; c'est tiré d'une annale de pbs de bac Vuibert , écrit par H.Vuibert lui-même; la page indiquant l'année d'édition a été coupée, mais il est indiqué : "conformes aux progrmmes du 27 juillet 1905".

    La page d'où provient cet exercice ( ou problème )
  • Yersinia Pestis
    Yersinia Pestis
    Bonjour aux "fidèle de ce fil" :)

    1°) pour le pb du bac de 1910 :
    oui, je confirme aussi x=4... j'ai eu un peu de mal (la fatigue : changer un embrayage tout seul c'est pas évident... enfin c'était passur un 38t !! et puis je n'ai pas vu immédiatement la simplification des x de degré 3, j'ai donc essayé d'autres moyens...).

    2°) pour GG (qui a l'air brillant!):
    que veux-tu dire par : "D'un autre côté, si on a vu le th du sinus (qui est trivial) et qu'on sait calculer sin 2a, et donc sin 3a, ce n'est pas tellement sorcier, mais bon ..."? A ce sujet je vois souvent l'expression sur ce forum : "solution triviale" ou bien "c'est trivial"... qu'est-ce que ça veut dire exactement?

    3°) pour bernard :
    merci pour le pdf... j'vais en faire quelques-uns... :)

    Pour ce qui est de la "polémique" : je ne suis pas anti-Einstein, je pense simplement qu'il faut rendre à César ce qui lui revient. J'ai d'ailleurs mis un petit commentaire sur le fil : "data base einstein online" ou quelque chose comme ça, de jinx. Tu peux aussi consulter la page : cosmosaf.iap.fr/Poincare.htm, ça résume très bien ma pensée.
    Quant aux propos de certains... je pense qu'il est inutile d'y répondre, ni même d'y préter la moindre attention tant ils sont abjectes : "le chien aboie, la caravane passe".

    A+

    Emmanuel
  • GG
    GG
    merci Yersina Pestis pour la petite flatterie, mais ce n'est au mieux que du vernis :)
    Par trivial, j'entendais le sens courant de : très simple, évident : le th des sinus mettant en relation les angles d'un triangle et les longueurs de ses côtés, le seul fait de se souvenir de la définition d'un sinus (d'un angle géométrique et non de sa mesure, définition analytique) conduit presque sans réfléchir à introduire les hauteurs du triangle et le calcul s'ensuit automatiquement.

    Maintenant, trivial a aussi un sens mathématique technique et précis qui dépend des domaines, par ex sous-groupe trivial (réduit au neutre ou coïncidant avec le groupe), morphisme trivial (qui applique tout élément sur le neutre), etc.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français