Series de Fourier

On ne peut pas utiliser $sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, calculer les coefficients de Fourier comme d'habitude, et après il sera toujours temps de transformer les exponentielles complexes en sinus et cosinus, non ?

Tu peux par exemple écrire la série recherchée formellement $$ f(x)=\sum a_k cos(kx)+b_k sin(kx) $$
Ensuite en multipliant cette égalité par $cos(nx)$ (resp. $sin(nx)$), en intégrant entre 0 et $\pi$ et en échangeant joyeusement série et intégrale tu obtiendras une expression de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $\int_0^\pi f(x) cos(nx) dx$ et $\int_0^\pi f(x) sin(nx) dx$, donc des intégrales que l'on sait calculer.
Ensuite pour déterminer le mode de convergence, tu peux par exemple regarder "à la main" la série obtenue (par exemple en tentant de montrer une convergence normale sur tout compact) ou bien utiliser des théorèmes du cours sur la convergence de la série de Fourier d'une fonction par rapport à sa régularité.

Il me semble que : $\displaystyle{\sin^2(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2x)}$

Je confirme !

Plus généralement, les séries de Fourier de produits de puissances de fonctions sinusoïdales de même fréquences sont des séries finies.

Cordialement