Décomposition du groupe des quaternions

nicolas.patrois
nicolas.patrois
dans Les-mathématiques
Bonjour,
J’ai lu sur le forum que $\dfrac{\mathbb{H}_8}{\pm1}\cong\D_4$, mais je n’ai pas trouvé explicitement le produit semi-direct pour reconstruire $\mathbb{H}_8$.
J’ai essayé de jouer avec des morphismes divers mais sans succès.
The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
        -- Harris, Sidney J.

Réponses

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    Bonjour Nicolas.

    Qu'appelle-tu H8 et D4 s'il te plaît et quels sont leurs ordres ?

    Cordialement.
  • PB
    PB
    On doit pouvoir montrer que H8 n'est pas un produit semi-direct de groupes d'ordres strictement <8.
  • ryo
    ryo
    Effectivement, le groupe des quaternions n'est pas un produit semi-direct, regarde les sous-groupes possibles de celui-ci :
    un tel sous-groupe (non trivial) va contenir $1$ (évidemment) mais aussi $-1$ ce qui empeche que l'intersection de deux sous-groupes soit triviale
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Oui ryo, c’est ce que j’avais vu aussi.
    Merci.
    Donc un groupe peut être non simple, résoluble (son groupe dérivé est $\{\pm1\}$ si je ne me trompe pas), sans être un produit (direct ou semi-direct). C’est amusant, ça.
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            -- Harris, Sidney J.
  • ryo
    ryo
    Par contre je viens de me rendre compte d'un truc dans ton premier message : je n'ai jamais vu noté quelque part $D_4$ (dans le contexte du début, j'ai supposé que c'était le groupe diédral à 4 éléments) puisque il n'y a que 2 groupes d'ordre $4$ (à isomorphisme près) $\Z/4\Z$ et $V_4$ (ou si on veut $(\Z/2\Z)^2$, je sais pas si c'est standard comme notation)

    On reserve plutot la notation en $D_n$ pour le groupe diédral à $n$ éléments ($n$ pair) dès qu'on passe dans des groupes non commutatif, non ?
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    C’est bien le groupe diédral à quatre éléments, mais c’est vrai qu’on l’appelle aussi groupe de Klein, ou comme tu as dit.
    C’est le groupe des isométries du segment, qui est un cas limite de polyèdre, c’est aussi pour ça qu’on l’appelle groupe diédral.
    Cela dit, je les ai aussi vu nommés $\D_n$, qu’on appelle ici $\D_2n$.
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            -- Harris, Sidney J.
  • bs
    bs
    Bonjour,

    Il me semble que:

    > H8 est le plus petit groupe qui ne peut s'écrire comme PSD, et aussi comme PD de deux de ses sous-groupes,

    > Il en est de même pour tous les groupes quaternioniques $H_2^n$,

    Question: existe-t-il d'autres groupes possédant cette particularité ?

    Merci.
  • mt-i
    mt-i
    Le plus petit groupe qui ne s'écrive pas comme un produit semi-direct est Z/4Z. Ce n'est pas une propriété rare.
  • ryo
    ryo
    Si on y va par là, $\Z/2\Z$ non plus ne s'écrit pas comme un produit semi-direct non ?

    En fait, je n'ai pas compris la question de bs : qu'est-ce que les groupes quaternionique $H_2^n$ ?
  • bs
    bs
    Bien vu et merci mt-i.

    ryo: pour les groupes quaternioniques $H_2^n$, ( c'est H indice 2^n : le Latex n'écrit pas clairement cette fois ?); c'est une généralisation de H8 avec $8=2^3$; je les ai rencontrés et étudiés dans le Delcourt; ils sont reliés aux groupes dicycliques, et Alain m'avait donné un complément de cours ici:

    \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,352509,352824#msg-352824}
  • Fadalbala
    Fadalbala
    Il me semble qu'effectivement resolubilite et s'ecrire comme produit semi-direct (non direct) sont des proprietes bien distinctes: pour $q$ et $p$ premiers tels que $p$ ne divise pas $q-1$, le seul morphisme $\mathbb{Z}/p \rightarrow \mathbb{Z}/ (q-1)$ est trivial.

    A ce propos je cite (je l'ai sous les yeux) le theoreme de Feit–Thompson:
    tout groupe fini d'ordre impair est resoluble. Si la plupart des groupes d'ordre impair s'ecrivaient comme produits semi-directs, cela aurait fait du bruit, non?
  • bs
    bs
    mt-i, je viens de relire les notes que j'avais rédigées suite au Delcourt:

    > en fait, Z/4Z est le groupe quaternionique H4= H_2^2 (un peu dégénéré ...)

    > Tous les groupes cycliques d'ordre $p^q$ avec $p$ premier ne sont pas des PSD ou des PD de leurs sous-groupes: OK.

    > Il en est de même des groupes quaternioniques,

    > Question: connais-tu d'autres familles possédant cette propriété ? Merci.

    Bonne soirée.
  • Fadalbala
    Fadalbala
    J'ajouterai une derniere chose, car je ne veux pas faire deriver de trop le sujet initial, une autre evidence qu'un groupe resoluble n'est pas "juste" une suite de quotients abeliens:

    le probleme inverse de Galois consiste en particulier a savoir si etant donne un groupe $G$ fini, il existe une extension finie galoisienne $L / \mathbb{Q}$ telle que $Gal(L / \mathbb{Q}) \simeq G$. Le cas ou $G$ est abelien est facile grace a l'existence des extensions cyclotomiques. Il a fallu attendre un effort consequent de Shafarevich (annees 50) pour traiter le cas ou $G$ est resoluble (je n'ai jamais regarde cette preuve pour ma part).

    Je n'en dis pas plus, je pense que tout le monde a compris l'idee que je voulais faire passer.
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